第四节【 区间估计 对于未知参数日，在得到它的，点估计日后，还需要 知道估计值的精确程度（真值所在的范围)，以及这 个范围包含真值的可信程度 一、区间估计的概念 二、区间估计的一般方法
一、区间估计的概念 二、区间估计的一般方法 第四节 区间估计 ˆ 估计值的精 对于未知参数 ，在得到它的点估计 后，还需要 知道 （真值所在的范围），以及这 个范围包含真 确程度 值的可信程度
一、区间估计的概念 定义设总体X的分布函数为F(x,),未知参数日∈Θ（⊙是O的 可能取值范围).对于给定值a(0<α<1)，若由来自X的样本 X,X2,.Xn确定的两个统计量 日=Q(X,X2,Xn)和0=0(X1,X2,.,Xn)(0<0), 对于任意的0∈⊙满足， P{eX,X2,.,Xn)<0<01,X2,.,X)}≥1-a 则称(0,0)是的置信水平为1-a的置信区间， 称为置信水平为的双侧置信区间的置信下限， 0称为置信水平为的双侧置信区间的置信上限， 1-a为置信水平
一、区间估计的概念 1 2 ( , ) . (0 1) , , n X F x X X X X 设总体 的分布函数为 ，未知参数 （ 是 的 可能取值范围）对于给定值 定 ，若由来自 的样本 确定的两 义 个统计量 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( ) = = X X X X X X n n 和 , P X X X X X X ( , , , ) ( , , , ) 1 1 2 1 2 n n − 则称 ( , ) 是 的置信水平为1− 的置信区间， 称为置信水平为的双侧置信区间的置信下限, 称为置信水平为的双侧置信区间的置信上限， 1−为置信水平. 对于任意的 满足
P{K1,X2,X)<0<8K1,X2,X)}≥1-a的含义： 若反复抽样多次（各次得到的样本容量相等，都是）， 每个样本值确定一个区间(，)，在这些区间中， 包含0真值的约占100(1-a)%,不包含的约占100a%
( ) ( , ) , n 若反复抽样多次 各次得到的样本容量相等，都是 ， 每个样本值确定一个区间 ，在这些区间中 包含 真值的约占100(1 )%, 100 %. − 不包含的约占 P X X X X X X ( , , , ) ( , , , ) 1 1 2 1 2 n n − 的含义：
说明： (1)区间估计给出的是未知参数的一个近似范围（日，日） 以及这个范围包含未知参数B(O是一个常数)真值的可靠 程度(1-a). (2)当X是连续型随机变量时，可由P(0<0<0)=1-a 求出置信区间。 当X是离散型随机变量时，可由P(但<B<)≥1-a求出使 P(但<0<)尽可地接近1-a的置信区间。 注：使P(0<B<0)=1-a的区间可能不存在. (3)可从的无偏估计量着手考虑
说明： 1 ( , ) ( ) (1 ). − （ ）区间估计给出的是未知参数的一个近似范围 以及这个范围包含未知参数 是一个常数 的可靠 程度 真值 （2）当X是连续型随机变量时，可由 P( ) 1 = − 求出置信区间。 P( ) 1 − P( ) 尽可地接近 1− 的置信区间。 当X是离散型随机变量时，可由 求出使 （3）可从的无偏估计量着手考虑。 注：使P( ) 1 . = − 的区间可能不存在
例1.设X1,X2,Xn是来自正态总体N(山，o2)的样本，其中 σ为已知，4为未知，求μ的置信度为1一a的置信区间枢轴量 已知不是4的无偏估计，取U=X- 解 ol 2-N0,1) 由标准正态分布的上α分位，点的定义知 .a P-u+21-e a2 于是得的一个置信度为1一a的置信区间： 长度： n 3a/2 (x*a-2(±g-
解 2 1 2 21 , , , ( , ) , , , 1 . . X X X N n − 设 是来自正态总体 的样本 其中 为 已知 为 未知 求 的置信度为 的置信 区 间 例 已 知 , X 是 的无偏估计 2 2 1 − /2 z − /2 z ( ) x y x /2 /2 1 , P X z X z n n − + = − 即由 标准正 态 分布 的 上 分位点的定义知 /2 /2 1 / X P z z n − − = − 于是得 的一个置信度为 1− 的 置信 区 间： / 2 X z . n /2 /2 X z X z , n n − + 记成 / 2 2 z . n 长 度: ~ (0,1) / X U N n − 取 = 枢轴量