第四节相互独立的随机变量 一、两个随机变量的相互独立性 二、n个随机变量的相互独立性
一、两个随机变量的相互独立性 二、 n 个随机变量的相互独立性 第四节 相互独立的随机变量
一、两个随机变量的相互独立性 定义设F(x,y)及Fx(x),F(y)分别是二维随机变量(X,Y) 的分布函数及边缘分布函数。若对于所有x,y有 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y, 即 F(x,y)=Fx(x)Fy(y), 则称随机变量X与Y是相互独立的。 X与Y相互独立 一对任意x,y,随机事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立. 台对任意x,y,随机事件{X>x}与{Y>y}相互独立
一、两个随机变量的相互独立性 定 义 设 ( , ) ( ), ( ) F x y F x F y 及 X Y 分别是二维随机变量（X，Y） 的分布函数及边缘分布函数。若对于所有 x, y 有 P X x Y y P X x P Y y { , } { } { }, = 即 ( , ) ( ) ( ), F x y F x F y = X Y 则 称随机变量 X 与 Y 是相互独立的。 对任意 x y X x Y y , ，随机事件 与 相互独立． X Y 与 相互独立 对任意 x y X x Y y , ，随机事件 与 相互独立．
1.若(X,Y)为离散型随机变量 X与Y相互独立台P{X=x,Y=y}=P{X=x}P{Y=y} oPi=P。P 2.若（X,Y)为连续型随机变量 X与Y相互独立台f(x,y)=fx(x)fr(y) 在全平面上几乎处处成立
{ , } { } { } = = = = = P X x Y y P X x P Y y i j i j 1. 若（X，Y ）为离散型随机变量 ij i j p p p = • • X Y 与 相互独立 2. 若（X，Y ）为连续型随机变量 ( , ) ( ) ( ) X Y = f x y f x f y 在全平面上几乎处处成立。 X Y 与 相互独立
例如： X 1 2 3 P.j 1 1-6 19 18 3 13 号 5 Pi. 2 3 石 可以验证， Pi PiP.j (i=1,2,3;j=1,2) →X与Y相互独立 补充定理X和Y相互独立，∫，g是连续函数， 则f(X)和g(Y)也相互独立
例如： X Y 1 2 3 1111 1 6 9 18 3 1 2 1 2 2 3 9 9 3 111 2 3 6 j i p p ij i j p p p 可以验证， = (i j = = 1, 2, 3 1, 2 ； ) X Y 与 相互独立． 补充定理 X Y f g 和 相互独立, , 是连续函数， 则 f X g Y ( ) ( ) . 和 也相互独立
考察二维随机变量(X,Y),它的概率密度为 f,0产2o,-p 即g 0102 -00<x<0,-0<y<0, 其中41,2,01,02，p都是常数，且01>0,02>0，-1<p<1. _(x-4)2 1“,-w<x<o fx(x=2π _(x-2 f(y)2no: 2,-0<y<0. 定理二维正态变量X,Y独立→p=0
考察二维随机变量( , ) X Y ，它的概率密度为 − − x y , , 1 2 1 2 1 2 其中 μ , , , , , 0, 0, 1 1. μ σ σ ρ都是常数 且 σ − σ ρ 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 ( , ) 2 1 1 ( ) ( )( ) ( ) exp 2 2(1 ) f x y σ σ ρ x μ x μ y μ y μ ρ ρ σ σ σ σ = − − − − − − − + − 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( ) , . 2π x μ σ Y f y e y σ − − = − 2 1 2 1 ( ) 2 1 1 ( ) , . 2π x μ σ X f x e x σ − − = − 定理 二维正态变量X Y, 0. 独立 = ρ