《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）5.2 中心极限定理

第二节 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题

第二节 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题

一、问题的引入 1.背景：由大量的、独立的、随机的因素综合影响形成的随机 变量，其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都很微小， 这样的随机变量服从什么分布？ 例如：考察射击命中，点与靶心距离的偏差. 偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和， 这些因素包括：瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方 面的误差、以及射击时武器的振动、气象因素的作用， 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的，并 且它们中每一个对总和产生的影响不大. 2.中心极限定理的结论：大量随机变量的和近似服从正态分布 或大量随机变量之和的标准化变量近似服从标准正态分布

一、问题的引入 这些因素包括：瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方 面 的误差、以及射击时武器的振动、气象因素的作用， 例如：考察射击命中点与靶心距离的偏差. 偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和. 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的, 并 且它们中每一个对总和产生的影响不大. 1. 背景：由大量的、独立的、随机的因素综合影响形成的随机 变量，其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都很微小， 这样的随机变量服从什么分布？ 2. 中心极限定理的结论：大量随机变量的和近似服从正态分布 或 大量随机变量之和的标准化变量近似服从标准正态分布

二、基本定理 独立同分布 定理1（独立同分布的中心极限定理） 期望、方差已知 设随机变量X1,X2,Xm,.相互独立，服从同一分布，且 具有数学期望和方差：E(X)=4,D(Xk)=o2>0(k=1,2,), 则随机变量之和∑X的标准化变量近似~N0,) k=1 ∑-EX)2x k=1 的分布函数F(x) VDx) 对于任意x满足 e2d=Φ(x). 11-→00 2 (证明略)

二、基本定理 定理1（独立同分布的中心极限定理） 近似~N(0,1) 1 1 1 1 ( ) ( ) n n n k k k k k k n n k k X E X X n Y n D X   = = = = − − = =     1 2 2 , , , , ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ), n k k X X X E X D X k = =  =   设随机变量 相互独立，服从同一分布，且 具有数学期望和方差： 1 lim ( ) lim n k k n n n X n F x P x n   = → →   −     =           2 2 1 d ( ). 2π t x e t x − − = =   ( ) F x n x 的分布函数 对于任意 满足 1 n k k X = 则随机变量之和 的标准化变量 独立同分布 期望、方差已知 （证明略）

定理1表明： 若E(X)=4,D(X)=o2>0(K=1,2,),当n充分大时， x.-E2x,)X-n4 近似 (①)Y=每 N(0,1). nG x (2) 含“NMa以 近似 ≈N(0,1)i olyn- 3)记X=之x,则xNμ)

定理1表明: 当n充分大时， 2 X N ~ ( , ) n   近似 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) n n n k k k k k k n n k k X E X X n Y n D X   = = = = − − = =     （ ） ~ (0,1), / X N n   − 近似 2 ~ N n n ( )   , . 近似 1 2 n k k X = （ ）  1 1 3 n k k X X n = （ ）记 =  ，则 ~ N(0 1). , 近似 2 ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ), 若 E X D X k k k = =  =  

独立不同分布的 定理2（李雅普诺夫定理yapunov)) 中心极限定理 设随机变量X,X2,Xn,.相互独立，它们具有数学期望和 方益：EX,)=4,DX,)-o0W=l2-克B- 若春在正数6俊得B2E,-A)=从 则随机变量之和∑X的标准化变量近似~N(0,) k=1 盆 的分布函数F,(x)对于任意x 2 B Zx. 满足limF,(x)=limP k=1 1→0 √2元 (证明略)

定理2 (李雅普诺夫定理 Lyapunov) 2 2 2 1 1 2 , , , , , ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ), , n k k k n k n k k X X X E X D X   k B   = = =  = =  设随机变量 相互独立 它们具有数学期望和 方差: 记 若存在正数 ， 使得   2 2 1 1 lim | | 0. n k k n n k E X B    + →  + =  − = 1 n k k X = 则随机变量之和 的标准化变量 1 1 1 n n k k k k n n k k X E X Z D X = = =   −     =          1 1 n n k k k k n X B  = = − =   ( ) 的分布函数 F x x n 对于任意 1 1 lim ( ) lim n n k k k k n n n n X F x P x B  = = → →   −     =            满足 2 1 2 d ( ). 2π t x e t x − − = =   独立不同分布的 中心极限定理 近似~N(0,1) （证明略）