第三章 多维随机变量及其分布 第一节二维随机变量 ·二维随机变量及其联合分布函数 ·离散型；连续型 ·推广：n维随机变量及其分布函数 重点： 1、二维随机变量的相关概念、性质： 联合分布函数、联合分布密度、联合分布律； 2、二维均匀分布、二维正态分布
第三章 多维随机变量及其分布 • 二维随机变量及其联合分布函数 • 离散型; 连续型 • 推广：n维随机变量及其分布函数 重点： 1、二维随机变量的相关概念、性质: 联合分布函数、联合分布密度、联合分布律； 2、 二维均匀分布、二维正态分布. 第一节 二维随机变量
二维随机变量及其联合分布函数 1.二维随机变量 实验结果需要同时用两个随机变量描述 引例1.考察一个地区儿童的身高H和体重W. 引例2.考察炮弹弹着点的位置 x(e) (横坐标x,纵坐标Y). 定义1设E是一个随机试验， Y(e) 它的样本空间是S={e},设X=X(e)和Y=Y(e) 是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y) 叫作二维随机向量或二维随机变量 (X,Y)的性质不仅与X、Y有关，而且还依赖于这两个 随机变量的相互关系
e • •Y(e) S • X(e) 一、二维随机变量及其联合分布函数 1. 二维随机变量—— ( X, Y ) 的性质不仅与X、Y 有关,而且还依赖于这两个 随机变量的相互关系. , { }, ( ) ( ) ( , ) . E S e X X e Y Y e S X Y = = = 设 是一个随机试验 它的样本空间是 设 和 是定 定 义在 上 义1 的随机变量，由它们构成的一个向量 叫作二维随机向量或 二维随机变量 引例1. 考察一个地区儿童的身高H和体重W . 引例2. 考察炮弹弹着点的位置 （横坐标X，纵坐标Y）. 实验结果需要同时用两个随机变量描述
2、联合分布函数 定义2设(X,)是二维随机变量，对于任意实数x,y, 二元函数：F(x,y)=P{X≤x)∩(Y≤y)}=P{X≤x,Y≤y} 称为二维随机变量(X,)的分布函数，或称为X和Y的联合 分布函数。 (x,) {X,Y)Ix≤x,Y≤y} 矩形区域 说明：（1)Fc,y)的函数值是随机点(X,Y)落在矩形区域 D:X≤x,Y≤y内的概率
定义 2 设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数 x，y， 二元函数：F x y P X x Y y P X x Y y ( , ) {( ) ( )} { , } = = 称为二维随机变量（X，Y）的分布函数，或称为 X 和 Y 的联合 分布函数。 2、联合分布函数 o x y ( , ) x y • ( , ) | , X Y X x Y y 说明:（1） F(x, y) 的函数值是随机点( X, Y )落在矩形区域 D X x Y y : ， 内的概率。 矩形区域
(2)对于任意(x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2? 有P{x1<X≤x2y1<Y≤y2}= =F(x2,y2)-F(x2,)+F(x2)-F(2) y c1,y2) y2 (X,Y) 1 c1,y1) 2,y) X1 X2
1 1 2 2 1 2 1 2 (2) ( , ),( , ), , , 对于任意 x y x y x x y y 有 ( , ) X Y y1 y2 (x2 , y2 ) (x2 , y1 ) (x1 , y2 ) (x1 , y1 ) x1 x2 P x X x y Y y 1 2 1 2 = , y x 2 2 2 1 1 1 1 2 = − + − F x y F x y F x y F x y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 1 1 ( , ) x x y y y y x x F x y = = = =
3、联合分布函数的基本性质 (I)F(x,y)是变量x和y的不减函数， 即对于任意固定的y,当x2>x1时F(2,y)≥F(1,y), 对于任意固定的x,当y2>y时F(x,y2)≥F(x,y) (2)0≤F(x,y)≤1，且有 对于任意固定的y,F(-oo,y)=limF(x,)=0, 对于任意固定的x,F(x,-oo)=imF(x,y)=0, F(-oo,-oo)=lim F(x,y)=0, (x,y) F->-c0 F(+o0,+oo)=lim F(x,y)=1. y→+o
(1) ( , ) , F x y x y 是变量 和 的不减函数 (2) 0 ( , ) 1, F x y 对于任意固定的 , y ( , ) lim ( , ) 0, x F y F x y →− − = = 且有 对于任意固定的x, ( , ) lim ( , ) 0, y F x F x y →− − = = ( , ) lim ( , ) 0, x y F F x y →− →− − − = = 3、 联合分布函数的基本性质 2 1 2 1 对于任意固定的x y y F x y F x y ，当 时 ( , ) ( , ). 2 1 2 1 即对于任意固定的 y x x F x y F x y ，当 时 ( , ) ( , ), x y o ( , ) x y • ( , ) lim ( , ) 1. x y F F x y →+ →+ + + = =