第五章 大数定律及中心极限定理 第一节大数定律 一、问题的引入 二、基本定理
一、问题的引入 二、基本定理 第五章 大数定律及中心极限定理 第一节 大数定律
一、问题的引入 第一章中我们知道事件发生的频率具有稳定性，在 实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳 定性，这种稳定性正是大数定律的客观背景。 复习：契比雪夫不等式 定理设随机变量X具有数学期望E(X)=山，方差D(X)=G, 则对于任意正数西有不等式PX-小心 或：Px-Ek}21-g
定 设随机变量 具有数学期望 ，方差 则对于任意正数 ， 不等式 理 有 2 2 2 ( ) ( ) , . X E X μ D X σ σ ε P X μ ε ε = = − 复习：契比雪夫不等式 2 2 P X E X( ) 1 ε ε 或： − − 第一章中我们知道事件发生的频率具有稳定性，在 实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳 定性， 这种稳定性正是大数定律的客观背景。 一、问题的引入
二、基本定理 切比雪夫不等式：PX-EX)<c≥1-D 定理一辛钦大数定理（弱大数定理)Khinchin 设随机变量X1,X2,X,.相互独立，服从同一分布，且 E(X)=4(k=1,2,),则对于任意正数8，有 ▣r2x-小小- 证：只针对方差D(X)=σ2（化=1,2，）存在的情形给出证明。 记= 之X,则E(u=私D闭=加=牙 由切比雪夫不等式得 空4小 在上式中令n→o, mP侣空x-水1
1 2 , , , , , , ( ) ( 1,2, ) , n k X X X E X k = = 设随机变量 相互独立 服从同一分布 且 ，则对于任意正数 有 1 1 lim 1. n k n k P X n → = − = 定理一 辛钦大数定理（弱大数定理）Khinchin 二、基本定理 证：只针对方差 2 ( ) ( 1,2, ) D X k k = = 存在的情形给出证明。 2 ( ) { ( ) } 1 D X P X E X ε ε 切比雪夫不等式： − − 1 n , n = 2 2 2 1 n , n n 则 E X( ) = D X( ) = = 1 1 n k k X X n = 记 = ， 2 2 1 1 1 , n k k P X n n = − − 由切比雪夫不等式得 在上式中令 n → ， 1 1 lim 1. n k n k P X n → = − =
说明： 容x水 imP ()辛钦大数定律表明：若随机变量序列X,X2,.Xn,.独立同 分布，当很大时，它们的算术平均值】∑X极大可能接近于 L1 2x- (2)辛钦大数定律并不要求方差存在
(1) 辛钦大数定律表明：若随机变量序列 1 2 , , , X X Xn 独立同 分布，当 n 很大时，它们的算术平均值 1 1 n k k X n = 极大可能接近于 说明: (2) 辛钦大数定律并不要求方差存在. 1 1 n k k E X n = = 1 1 lim 1. n k n k P X n → = − =
定义设Y,Y,.yn,.是一个随机变量序列，a是一个常数， 若对任意的ε>0，有 imP化.-d<e}=l, 则称y,卫n,.依概率收敛于a,记作yn”a 性质：若X,P→a,ynP→b,函数g比，)在点(a,b)连续， 则g(Xn,Yn)P→g(a,b)。 辛钦大数定理（弱大数定理)可表述为： 设随机变量X,X2,Xm,.相互独立，服从同一分布，且 BX=Hk=L2则X=2x,一4
定义 设 1 2 , , , Y Y Yn 是一个随机变量序列，a 是一个常数， 若对任意的 ε >0，有 lim 1 n n P Y a → − = ， 则称 1 2 , , , Y Y Yn 依概率收敛于 a，记作 P Y a n ⎯⎯→ . 性质：若 P X a n ⎯⎯→ ， P Y b n ⎯⎯→ ，函数 g(x, y) 在点(a,b)连续， 则 ( , ) ( , ) P n n g X Y g a b ⎯⎯→ 。 1 2 , , , , , , ( ) ( 1,2, ) n k X X X E X k = = 设随机变量 相互独立 服从同一分布 且 ，则 辛钦大数定理（弱大数定理）可表述为： 1 1 n P k k X X n = = ⎯⎯→