(△<0)3）有一对共轭复根r=α+i,r=α-iβ,特征根为Jz =e(α-iβ)xJ = e(α+iβ)x-(yi + y2) = e cos Bx,重新组合 J121(yi - y2) = ea" sin βx,y22i(注：利用欧拉公式ex=cosx+isinx.)得齐次方程的通解为y=eαx(C,cosβx+C,sinβx)
3)有一对共轭复根 r1 i，r2 i， y1 e ( i ) x ，y2 e ( i ) x ， ( 0) 重新组合 ( ) 2 1 1 1 2 y y y e cos x, x ( ) 2 1 2 1 2 y y i y e sin x, x 得齐次方程的通解为 ( cos sin ). 1 2 y e C x C x x 特征根为 ( : e cos x isin x.) ix 注 利用欧拉公式
定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法例2求方程y"+4y"+4y=0的通解解特征方程为寸r2+4r+4=0，解得r =r, =-2,故所求通解为 = (Ci +C,x)e-2x
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法. 求方程 y 4 y 4 y 0的通解. 解 特征方程为 4 4 0 , 2 r r 解得 2 , r1 r2 故所求通解为 ( ) . 2 1 2 x y C C x e 例2