定理4设Ji，y2是非齐次方程（2）的解，那么J1一y2就是非齐次方程（2)所对应的齐次方程（1）的解.定理5设非齐次方程（2）的右端f(x）是几个函数之和，如y"+ P(x)y+Q(x)y= f(x)+ f(x)而y与y分别是方程解的叠加原理y" + P(x)y'+Q(x)y = f(x)y" + P(x)y' +Q(x)y = f,(x)的特解，那么y+y,就是原方程的特解
定理 4 设 1 2 y ，y 是非齐次方程(2)的解,那么 1 2 y y 就是非齐次方程(2)所对应的齐次方程(1) 的解. 定理 5 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函 数之和, 如 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 y P x y Q x y f x f x 而 * 1 y 与 * 2 y 分别是方程, ( ) ( ) ( ) 1 y P x y Q x y f x ( ) ( ) ( ) 2 y P x y Q x y f x 的特解, 那么 * 2 * 1 y y 就是原方程的特解. 解的叠加原理
例1已知=3，J2=3+x，=3+x2+e*都是微分方程(x2 - 2x)" - (x2 - 2)' + (2x - 2)y = 6(x - 1)的解，求其所对应的齐次微分方程的通解解‘：Ji，J2，ys都是微分方程的解，:. y3 - y2 =e*, J, -yi =x?,是对应齐次方程的解，≠常数t2J2 -J1: 所求通解为 y=C(y3-y2)+C,(y2-)= Cje* +C,x2
1 2 3 y , y , y 都是微分方程的解, , 3 2 x y y e , 2 2 1 y y x 是对应齐次方程的解, 2 2 1 3 2 x e y y y y x 又 常数 所求通解为 . 2 C1e C2 x x 1 3 2 2 2 1 y C y y C y y 例1 . 2 2 2 2 6 1 3 3 3 2 2 2 3 2 1 2 的解，求其所对应的齐 次微分方程的通解 已知 ， ， ＋ 都是微分方程 x x y x y x y x y y x y x e x
三、二阶常系数齐次线性方程解法一一一一一特征方程法y" + py'+ qy= 0设y=e，将其代入上述方程,得(r2 + pr + q)erx = 0:ex +0,特征方程故有r2 + pr +q= 0特征根 r.2=P±Vp"-4g2
三、二阶常系数齐次线性方程解法 -特征方程法 , rx 设 y e 将其代入上述方程, 得 ( ) 0 2 rx r pr q e 0, rx e 故有 0 2 r pr q 特征方程 , 2 4 2 1,2 p p q r 特征根 y py qy 0
1)有两个不相等的实根(△>0)p-p2-4q特征根为r,=二P+Vp-4gr:22两个线性无关的特解Ji =e'*, J, =e**得齐次方程的通解为 y=C,e'ix +C,e*;
1)有两个不相等的实根 , 2 4 2 1 p p q r , 2 4 2 2 p p q r , 1 1 r x y e , 2 2 r x y e 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 ; 1 2 1 2 r x r x y C e C e ( 0) 特征根为
2）有两个相等的实根（△=0)p一特解为J,=e"x特征根为 r=r,=-2设另一特解为 yz =u(x)e'ix,将2，，代入原方程并化简，u"+(2r + p)u' +(r? + pr +q)u= 0,则 y, = xe'*知 u"=0,取 u(x)=x，I得齐次方程的通解为 y=(C +C,x)e;
2) 有两个相等的实根 , 1 1 r x , y e 2 1 2 p r r ( 0)一特解为 得齐次方程的通解为 ( ) ; 1 1 2 r x y C C x e 将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u r1 p u r1 pr q u 知 u 0, 取 u( x) x, , 1 2 r x 则 y xe ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y u x e 特征根为