CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数学选修2·2 不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用 (单位:元)为 5284 c(x)=100 (80<x<100) 求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1)90%; (2)98% 解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数 5 5284×(100-x)-5284×(100-x) (100-x)2 0×(100-x)-5284×(-1) 5284 (100-x)2 (1)因为c(90)=-5284 (100-90)3=52.84,所以,纯净度为90%时,净化费用的瞬时变 化率是52.84元/吨 (2)因为C(98)=10093=132.,所以,纯净度为98%时,净化费用的瞬时变 化率是1321元/吨 函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知, c'(98)=25c(90),.它表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率,大约是纯净度为90% 左右时净化费用变化率的25倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而 且净化费用增加的速度也越快 如何求函数y=ln(x+2)的导数呢? 我们无法用现有的方法求函数y=ln(x+2)的导数.下面,我们先分析这个函数的结 构特点 若设a=x+2(x>-2),则y=ln从而y=hn(x+2)可以看成是由y=lna和a= x+2(x>-2)经过“复合”得到的.即y可以通过中间变量a表示为自变量x的函数 如果把y与a的关系记作y=f(a),a和x的关系记作a=g(x),那么这个“复合” 过程可表示为 f(g(x))=ln(x+2) 我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的.例如,函数y= (2x+3)2由y=a2和=2x+3“复合”而成,等等
第一章导数及其应用 第一章 一般地,对于两个函数y=f(a)和a=g(x),如果通过变量a,y可以表示成x的函 数,那么称这个函数为函数y=f()和a=g(x)的复合函数( composite function),记作 E(g(r)). 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(n),a=g(x)的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对a的导数与a对x的导数的乘积 由此可得,y=ln(3x+2)对x的导数等于y=na对a的导数与n=3x+2对x的导 数的乘积,即 (lna)·(3x+2) 3x+2 例4求下列函数的导数: (1)y=(2x+3)2 (2)y=e or (3)y=sin(xx+q)(其中π,g均为常数) 解:(1)函数y=(2x+3)2可以看作函数y=2和a=2x+3的复合函数。根据复合 函数求导法则有 Vr-yu (a2)’·(2x+3) =8x+12 (2)函数y=e0+可以看作函数y=e和a=-0.05x+1的复合函数.根据复合函 数求导法则有 =(e)(-0.05x+1) 0.05c° 0.05e+ (3)函数y=sin(兀x+y)可以看作函数y=sina和a=rx+9的复合函数,根据复合 函数求导法则有 Veyo =(sina)·(rx+y) 0y.‘表示y对x的导数
CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书竽选修22 练习 1.运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则,重新求解1.1节例1.你是否感觉到运算法则 给解题带来的方便简捷? 2.求下列函数的导数 (1)y=:r (2)y=2e; (3)y=2x (5)y=cos I (6)y= 习题1.2 A组 1.已知圆面积S=m2,根据导数的定义求S(r) 2.利用基本初等函数导数公式表与导数运算法则,求1.1节高台跳水运动中的高度关于时间的函 数的导数 E3.求描述气球膨胀状态的函数r(V)=√的导数 4.求下列函数的导数: (1) y=r+logr (2)y=re (3)y sin r (4)y=(x+1) (5)y=2e; (6)y=2rsin(2x+5) 5.已知函数f(x)=13-8x+V2x2,且f(x)=4,求x 6.已知函数y=xln (1)求这个函数的导数; (2)求这个函数的图象在点x=1处的切线方程 7.求曲线y==在点M(r,0)处的切线方程 8.氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氧气,那么t天后,氧气 的剩余量为A(t)=500×0.834 (1)氡气的散发速度是多少? (2)A'(7)的值是什么(精确到0.1)?它表示什么意义?
第一章导数及其应用 第一章 1.请按步骤,完成下面的任务 (1)利用信息技术工具,分别画出h=1,0.5,0.1,0.05时,函数 y=sin(rth)-sin-r 的图象 (2)画出函数y=∞的图象,并与上面的四个图象比较,当h越来越小时,你观察到了什么? (3)猜测y=sinx的导数,与基本初等函数导数公式表中sinx的导数公式一样吗? 2.设函数f(x)=1-e的图象与x轴相交于点P,求曲线在点P处的切线的方程 1 3.某海湾拥有世界上最大的海潮,其高低水位之差可达到15m 假设在该海湾某一固定点,大海水深d(单位:m)与午夜后的 时间t(单位:h)的关系由函数d(t)=10+4cost表示,求下列 时刻潮水的速度(精确到0.01): (1)上午6:00; (2)上午9:00 (3)中午12:00; (4)下午6:00. 适备话LL
CHAPTER 苦通高中课程标准实验教科书数学选修2-2 探 一牛额法一用导数方法求方的近似解一 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问 题.牛顿( Issac Newton,1642-1727)在《流数法》 一书中,给出了高次代数方程的一种数值解法—一牛 几x做x+2x2+ 顿法。这种求方程根的方法,在科学界已被广泛采用 下面,我们看看如何求方程x2+2x2+10x-20=0 从函数的观点看,方程x2+2x2+10x-20=0的 根就是函数f(x)=x2+2x2+10x-20的零点.从图 形上看,一个函数的零点r就是函数f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标 数 如何求r的值呢? 如果可以找到一步一步逼近点r的点x0,x,…,x,使得|xn-r|很小很小,那 么,我们就可以把x的值作为r的近似值,即把x作为方程f(x)=0的近似解 牛顿用“作切线”的方法找到了这一串 当然,要有一个起始点,比如,我们从x0=4开始0 起始点当然是越接 在点x=4处作f(x)的切线,切线与x轴的交点就是近点越好,我们可以事先 对零点作一个估计,如果使 x1;用x代替x0重复上面的过程得到x2;一直继续下去,用信息技术工具,这种估计 得到x,x,…x,从图形上我们可以看到,较接是比校容易的 近r,x较接近r,等等,它们越来越過近r.接下来的 任务是计算x我们知道,f(x)在点x。处切线的斜率是f(x),因此切线方程为 y-f(x)=f(x0)(x-x0) 如果f(x)≠0,那么,切线与x轴的交点是 f(ro) C1=x0 (x0) 20