经全国中小学教材审定委员会 2006年初审通过 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4-2 矩阵与变换 人民教育出版社课程教材研究所编著 中学数学课程教材研究开发中心 ⑧人唐社 版
的 出 目录 引言 第一讲线性变换与二阶矩阵… 线性变换与二阶矩阵 )几类特殊线性变换及其二阶矩阵 1.旋转变换…………………3 2.反射变换……6 3.伸缩变换………… 4.投影变换 5.切变变换…………y"…8 (二)变换、矩阵的相等 8 二二阶矩阵与平面向量的乘法……11 三线性变换的基本性质……… )线性变换的基本性质14 (二)一些重要线性交提对单位正方形区城的作用 ……………19
第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法 …………………………29 复合变换与二阶矩阵的乘法 二矩阵乘法的性质 第三讲逆变换与逆矩阵 …43 逆变换与逆矩阵 43 1.逆变换与逆矩阵 ………43 2.逆矩阵的性质…47 二二阶行列式与逆矩阵………………50 三逆矩阵与二元一次方程组 Rsn 1.二元一次方程组的矩阵形式 56 2.逆矩阵与二元一次方程组……57 探究与发现三阶矩阵与三阶行列式………62 第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量……63 一变换的不变量——矩阵的特征向量 63 1.特征值与特征向量………………………………63 2.特征值与特征向量的计算……………16 特征向量的应用…… 71A9=2 LA"a的简单表示 2.特征向量在实际问题中的应用…… 学习总结报告…7
写|言 在初中,我们已学过轴对称、旋转、相似等平面图形的变换。例如,我们知道,把一 个平面图形沿着平面上一条直线l折叠,可以得到它关于直线l对称的图形,这个图形与 原图形全等;新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点;连接任意 对对称点的线段被直线l垂直平分.像这样,由一个平面图形(如图0-1中的△ABC)得 到它关于某条直线l的轴对称图形(图0-1中的△ABC)叫做平面图形的轴对称变换 图01 我们也可以这样来看平面图形的轴对称变换:如图0-1,设直线l在平面a内,那么对 于平面a内任意一点P,都存在平面a内唯一一点P,使P与P关于直线l对称,我们称 这样的对应关系为平面a关于直线l的反射变换,这样,经过这个反射变换,平面a内的 △ABC就被对应到△AB℃C 进一步地,如果在平面a内建立直角坐标系xOy,那么平面内的点与有序实数对(x 之间就建立了一一对应。这样,我们又可以从代数的角度来研究反射变换,例如,关于 x轴的反射变换,把平面a内的任意一点P(x,y)对应到它关于x轴的对称点P(x,y) 对于坐标P(x,y)与P(x,y),可以得到 ① y 显然,表达式①完全刻画了关于x轴的反射变换.因此,也称表达式①为关于x轴的反射 变换 我们将反射变换①变形为 r=r+Ov. y=Ory 由于②式由右端式子中x,y的系数唯一确定,我们把它们按原来的顺序写出来,并在两 端分别加上一个括号,就得到正方形数表 这个正方形数表也完全刻画了关于x
通高中课程标准实验教科书数学(选繆42)矩阵与变 轴的反射变换.我们把这种正方形数表称为二阶矩阵.这样关于x轴的反射变换就可以由 二阶矩阵 完全确定 0 类似地,在直角坐标系xOy中,平面内的许多几何变换都具有形式 x=ax+hy, y=cr+dy 其中a,b,c,d均为常数.变换③可以由二阶矩阵完全确定 数学中经常通过引入新的工具,建立不同对象之间的联系来研究问题.例如,引入平 面直角坐标系后,我们可以通过方程来研究平面曲线,也可以通过平面曲线来研究方程 在引进二阶矩阵概念后,能否对二阶矩阵与平面内的某些几何变换进行类似的研究呢?这 就是本专题要解决的主要问题 本专题将以矩阵为工具,研究一些几何变换,并以平面图形的变换为背景,讨论二阶 矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量的概念等,用变换的观点理解解二元一次方 程组的意义,初步展示矩阵应用的广泛性,为进一步学习打下基础 2