经全国中小学教材审定委员会 2005年初审通过 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修45 不等式选讲 人民教育出版社课程教材研究所编著 中学数学课程教材研究开发中心 b生 人活社 版
目录 引言………………………………1 第一讲不等式和绝对值不等式… ,,,,,,上, 不等式…………………………2 1.不等式的基本性质………………………2 2.基本不等式…………………………5 3.三个正数的算术一几何平均不等式 8 二绝对值不等式 ……………………11 1.绝对值三角不等式……………………11 2.绝对值不等式的解法……………15 第二讲证明不等式的基本方法 ……21 一比较法………… ……21 二综合法与分析法23 CbU byo 三反证法与放编法……26
第三讲柯西不等式与排序不等式 31 二维形式的柯西不等式 31 阅读与思考法国科学家柯西……………36 二一般形式的柯西不等式… 37 三排序不等式………… 第四讲数学归纳法证明不等式 46 数学归纳法 46 二用数学归纳法证明不等式… 50 学习总结报告…………………55
ab 引!宫 在自然界中,等量关系和不等量关系是普遍存在的.描述等量关系可以用等式,描述 不等量关系可以用不等式,与等量关系一样,不等关系也是数学研究的重要内容.所以, 研究不等关系和不等式,既是数学研究的重要方面,也是我们认识世界的重要途径 本专题将在复习已有不等式知识(不等式的性质、基本不等式等)的基础上,继续学 习不等式的知识,包括一些关于绝对值不等式的性质;证明不等式的基本方法:比较法, 综合法和分析法,反证法和放缩法;几个重要的不等式:基本不等式,二维形式、向量形 式和一般形式的柯西不等式,排序不等式;数学归纳法及其在证明不等式中的应用;等等. 许多重要的不等式有深刻的数学意义和背景,本专题中给出的不等式大都有明确的几 何背景,把握这些几何背景,对于我们理解这些不等式的实质是非常重要的.因此,在学 习过程中,同学们应当注意理解这些不等式的背景(特别是几何背景)及其蕴涵的数学思 想,尽可能借助几何直观来证明这些基本而重要的不等式,从中领悟数形结合等重要数学 思想在研究不等式中的作用 希望同学们通过本书的学习,在数学知识的积累、数学能力的提高、对数学的理解和 认识等方面都能再上一个新台阶 1
第一饼 不等式和绝对值不等式 现实中,人们常用长与短、多与少、高与矮、轻与重……来描述客观事物在数量上存 在的不等关系.数学中,人们常用不等式表示这样的不等关系,不等式是数学研究的重要 内容 一不等式 1.不等式的基本性质 研究不等式的出发点是实数的大小关系.我们知道,数轴上的点与实数一一对应,因 此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小 设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的 左边时,a<h当点A在点B的右边时,a>b(图1.1-1). ch 图1.1-1 关于实数a,b的大小关系,有以下基本事实: 如果a>b,那么a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数.反过来也对 这个基本事实可以表示为 u> e a-bo a=hea-60 be a-io 上面的符号“”表示“等价于”即可以互相推出 从上述基本事实出发,你认为可以用什么方法比较两个实数的大小?