第一章导数及其应用 第一章 继续这个过程,就可以推导出如下求方程根的牛顿法公式 如果f(x-1)≠0,那么 请同学们自己推导 对于一个给定的精确度,我们可以根据上述公式,求出方程x2+2x2+10x-20=0的 近似解 下面,我们给出牛顿法的算法框图,同学们可以根据它编一个程序,让计算机帮你完 成计算任务 给定精度和初始值x 根据牛顿法公式计算当前值 x3x2+4x+10 计算当的精度:=| AoA Kisi x为方程的近似解 R解结 数 1.不同的初始值对求方程的近似解有影响吗?如果有,影响在什么 地方? 2.你还知道其他求方程近似解的方法吗?你认为牛顿法的优点和缺点 是什么? mm 21
导数在研究函数中的应用 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.研究函数时,了解函数的增与 减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的 这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.正如本章引言所说,科学 1家们对数量的变化规律进行了长期的研究,导致了微积分的创立 下面,我们运用导数研究函数的性质,从中你可以体会导数在研究函数中的 1作用 1,31函数的单调性与导数 观 察 图1.3-1(1)表示高台跳 水运动员的高度h随时间t变 化的函数h(t)=-4.9r2+ 6.5+10的图象,图1.3-1(2)表示高台跳 1水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)= h(t)=-9.8t+6.5的图象 1运动员从起跳到最高点,以及从最高点 到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 1通过观察图象,我们可以发现: 1(1)运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(n)是 增函数.相应地,v(t)=h'(1)>0 (2)从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减小,即h(n)是 减函数.相应地,v(t=h'(t)<0 22
第一章导数及其应用 第一章 这种情况是否具有一般性呢? 观察下面一些函数的图象(图1.3-2),探讨函数的单调性与其导函数正负的关系 (4) 图 如图1.3-3,导数f(x0)表示函数f(x)在点(x,f(x0)处的切线的斜率.在x=x 处,f(x0)>0,切线是“左下右上”式的,这时,函数f(x)在x0附近单调递增;在 x=x处,f(x)<0,切线是“左上右下”式的,这时,函数f(x)在x附近单调递减 ee,uxe) (x,f(x1) 般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系: 在某个区间(a,b)内,如果f(x)>0,那么函数 0如果在某个区 间内恒有f(x)=0, y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f(x)<0,那么函数 ●系么数(2)有什么 y=f(x)在这个区间内单调递减0
CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数学选修2·2 请同学们回顾一下函数单调性的定义,并思考某个区间上函数y=f(x 的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系 例1已知导函数f(x)的下列信息 当1<x<4时,f(x)>0 当x>4,或x<1时,f(x)<0 当x=4,或x=1时,f(x)=0. 试画出函数f(x)图象的大致形状 解:当1<x<4时,f(x)>0,可知f(x)在此区间内 yaf(x) 单调递增; 当x>4,或x<1时,f(x)<0,可知f(x)在这两个 区间内单调递减; 当x=4,或x=1时,f(x)=0,这两点比较特殊,我 们称它们为“临界点” 图1.3-4 综上,函数f(x)图象的大致形状如图1.3-4所示 例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间: (1)f(x)=x2+3x; (2)f(x)=x2-2x-3; (3)f(x)=sinx-x,x∈(0,r);(4)f(x)=2x2+3x2-24x+1 解:(1)因为f(x)=x2+3x,所以 f(x)=3x2+3=3(x2+1)>0. 因此,函数f(x)=x+3x在R上单调递增,如图1.3-5(1)所示 图1.3-5(1 图1.3·5(2) (2)因为f(x)=x2-2x-3,所以 f(x)=2x-2=2(x-1) 当f(x)>0,即x>1时,函数f(x)=x2-2x-3单调递增; 当f(x)<0,即x<1时,函数f(x)=x2-2x-3单调递减 函数f(x)=x2-2x-3的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(-∞,1) 24
第一章导数及其应用 第一章 函数f(x)=x2-2x-3的图象如图1.3-5(2)所示 (3)因为f(x)=sinx-x,x∈(0,x),所以 因此,函数f(x)=sinx-x在(0,x)内 ,如图1.3-5(3)所示 (4)因为f(x)=2x+3x2-24x+1,所以 当f(x)>0,即 时,函数f(x)=2x2+3x2-24r+1 当f(x)<0,即 时,函数f(x)=2x2+3x2-24x+1 函数f(x)=2x2+3x2-24x+1的单调递增区间为 单调递减区间 为 函数f(x)=2x2+3x2-24x+1的图象如图1.3-5(4)所示, f(xh=2x+32-34x+1 如果不用导数的方 法,直接运用单调性的 定义,你如何求解本 题?运算过程麻烦吗? 你有什么体会? 图1.3-5(3) 图L.3-5(4) 例3如图1.3-6,水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面 积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象 (1) (B) (C) 图 分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以恒速注入时,开始阶段高度 量25