经全国中小学教材审定委员会 2005年初审通过 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4-1 几何证明选讲 人民教育出版社课程教材研究所编著 中学数学课程教材研究开发中心 人A点 版
目录 引言………………………………………1 第一讲相似三角形的判定及有关性质… 平行线等分线段定理…………………2 二平行线分线段成比例定理……………5 三相似三角形的判定及性质 10 相似三角形的判定………………………10 2.相似三角形的性质……………16 四直角三角形的射影定理……………20 第二讲直线圆的位置关系……24 圆周角定理……………………………24 二圓内接四边形的性质与判定定理…………27 三圆的切线的性质及判定定理… 四弦切角的性质………………32 五与圆有关的比例线段:…34
第三讲圆锥曲线性质的探讨…43 平行射影 13 平面与圆柱面的截线 三平面与圆锥面的截线 学习总结报告…………………53
我们依据《普通高中数学课程标准(实验)》编写了本册教科书 本书是高中数学选修课程系列4中的一个专题,内容包括相似三角形的判定和性质 直线与圆的位置关系、圆锥曲线性质的探讨等 在初中,同学们已经学习了相似图形的概念以及相似三角形的某些性质·但当时并没 有对相似三角形的有关定理进行严格的证明.本书的第一讲,主要内容就是对这些定理进 行证明,并应用它们去解决一·些问題.为了证明这些定理,我们引人了平行线等分线段、 平行线分线段成比例的有关内容,以组成一个相对严谨的逻辑体系 第二讲,讨论直线与圆的位置关系,涉及圆周角、圆的内接四边形、阙的切线、弦切 角、与圆有关的线段间的度量关系等内容.其中有的慨念同学们在初中阶段已经学习过 本讲力求使这些知识融为一体.对相关定理进行严格论证,并注重知识的应用 第三讲,讨论圆锥曲线的概念和性质.圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线,它们是 解析几何研究的重要内容.在本讲中,我们选择了一个新的视角,用一个平面去截一个圆 柱或圆锥,由平面与所截圆柱或圆锥中轴线的夹角变化去考察截口曲线的形状,得到椭圆、 双曲线和抛物线,同时给出相关结论的证明 在学习本书的过程中,应注意以下儿点: 1.注重证明.数学是一门严谨的科学,得出的结论都要经过严格的证明.正是这种严 谨性,使数学学习成为训练同学们逻辑推理技能、提高逻辑思维能力的有效途径本书突 出数学证明的目的也在于此 2.强调过程.一般说来,正确的数学结论的形成需要“发现”和“证明”两个主要阶 段,在这两个阶段中都包含着“过程”数学知识有一个发生发展过程,通过数学学习,同 学们可以领悟知识产生的背景,经历知识发展的过程,从而提高自己提出问题和解决问题 的能力.因此,本书许多定理的引入和证明,都突出了其发生发展的过程 3.突出思想.在陈述知识的同时,力求突出慨念所反映的数学思想方法因此,同学 们在学习中,掌握知识的同时要努力领悟数学思想方法 1.加强探究。学习中,同学们应跟随书中的“观察”“思考”“探究”等,大胆探究 问题 希望同学们通过本书的学习,在知识的积累、数学能力的提高、对数学的理解和认识 等方面都能更上一个台阶 原1
相似三角形的 B 第一讲 判定及有关性质 B 在初中,我们经在平面几何中讨论过平行线的一些性 质和判定的问题.例如,如果两条直线同时平行于第三条直 你还能回忆起更多 线,那么这两条直线互相平行;同位角相等,两直线平行 的关于平行线的知 两直线平行,内错角相等……下面我们继续研究平行线的●识吗? 性质 平行线等分线段定理 研究平行线的性质,就是在已知一组直线平行的条件下,探究可以推出哪些结论.例 如,一组平行线被另一组平行的或非平行的直线所截(图1-1),所得到的图形具有哪些性 质呢? 图|-1 如图1-2,三条直线h、l2、l满足l1∥l2∥,直线l∥1,且分别与l、l2、l 相交于A1、A3、A1和B1、B2、B,当AA2=AA1时,观察图形,并测量线段 BB2、BB1的长度,它们有什么关系?如果l与1不平行(如图1-3),上述关系还 成立吗? 2