经全国中小学教材审定委员会 2005年初审通过 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4-4 坐标系与参数方程 人民教育出版社课程教材研究所编著 中学数学课程教材研究开发中心 ocIn. com 琴号平 人人点A社 docaTa 版
目录 电子课本下载地址:www.docin.com/sxzyxz 引言………………………1 第一讲坐标系… …………………2 平面直角坐标系…… 2 极坐标系 8 三简单曲线的极坐标方程…… ,,,, 12 四柱坐标系与球坐标系简介…… 第二讲参数方程………………………21 曲线的参数方程… ,,,,来,,,,,,,,,,, 21 圆锥曲线的参数方程…………………27 直线的参数方程 …35 四渐开线与摆线 40 学习总结报告……
本专题是高中数学课程选修系列4中的第4个专题,包括“坐标系”“参数方程”两 个部分的内容 坐标法思想是17世纪的数学家笛卡儿、费马提出的.坐标法思想为牛顿、菜布尼茨 创立微积分奠定了基础,它是近代数学发展的开端,已成为现代数学最重要的基本思想之 坐标系是联系几何与代数的桥梁,是数形结合的有力工具,利用它可以使数与形相互 转化 同学们已学过数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系的初步知识.在此基础上,本 专题将进一步介绍极坐标系、空间柱坐标系、球坐标系等,展示不同坐标系在刻画几何图 形或描述自然现象中的作用,拓广坐标系的知识;通过介绍简单曲线的极坐标方程等知 识,使同学们更全面地理解坐标法思想 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程,是曲线在同一坐标系下的 另一种表示形式.本专题通过实例展示了在建立曲线方程过程中,引进参数的意义和作 用.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便.根据曲线的特点,选取适当曲线 方程的表示形式,体现了解决问题中数学方法的灵活性 作为参数方程的应用实例,本专题介绍了渐开线与摆线,为同学们提供欣赏各种曲线 (如心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线、平摆线、渐开线等)的机会,从中体会参数对研究 这些曲线的作用 使用信息技术研究本专题的内容,例如用计算机软件认识参数意义,观察渐开线与平 摆线的生成过程等,可以使同学们更直观、有效地认识各种曲线的生成过程、性质和实际 应用 本专题力求通过实际问题,深入浅出地帮助同学们理解数学概念;通过“思考”“探 究”“信息技术应用”等,启发和引导同学们的数学思维,养成主动探索,积极思考的好 习惯. 祝愿同学们通过本专题的学习,不仅对数学产生更大的兴趣,学到更多的数学知识, 提高自己利用数学知识解决实际问题的能力,形成对数学更加全面的了解,而且逐步认识 到数学的科学价值、应用价值和文化价值 通1
第一讲 4坐标系 我们知道,通过直角坐标系,平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了 联系,从而实现了数与形的结合.根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方 程,通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系,这就是研究几何问题的坐标法 由于现实问题的复杂性,有时在直角坐标系下建立几何图形的方程并不方便.为便于 用代数方法研究几何图形,需要建立不同的坐标系.在建立某些几何图形的方程时,用极 坐标系、柱坐标系和球坐标系会更加方便 下面我们先回顾直角坐标系中解决实际问题的过程 平面直角坐标系 豆丁 1.平面直角坐标系 某信息中心接到位于正东、正 西、正北方向三个观测点的报告:正 阅 观测点 西、正北两个观测点同时听到一声巨响,正 ·东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知 各观测点到中心的距高都是1020m.试确定 巨响发生的位置,(假定声音传播的速度为 阅 观测点 观测点 340m/s,各观测点均在同一平面上.) 信息中心 00o。0o000。0D0。00000。00000000D00。0000。D 2
第一讲坐标系 第 如图1-1,将三个观测点记为A,B,C.由于B,C同 时听到由点P发出的响声,因此PB|=PC|,说明点P 在线段BC的垂直平分线l上;由于A听到响声的时间比 B信息收心A B,C晚4s,因此|PA|-|PB|=4×340=1360<AB 说明点P在以点A,B为焦点的双曲线r上.所以,点P 就是直线l与双曲线r的交点 下面利用问题的几何特征,通过建立适当的直角坐标 图1-1 系,具体确定点P的位置. 。。0。00。。0。099。000。0。自。。。 怎样建立直角坐标系才有利于我们解决这个问题? 。00e0000。00D0。0。00。060000D非0。00垂。00。00。。。0垂 由于点P是直线l与双曲线r的交点,因此,直角坐标系的选取应尽量使直线l和双 曲线P的方程简单,以便于解方程组求点P的坐标 如图1-2,以信息中心为原点O,直线BA为x轴, 建立直角坐标系.由已知,点A,B,C的坐标分别为 A(1020,0),B(-1020,0),C(0,1020), 于是,直线l的方程为 y-. 设双曲线P的方程是 sfv\ ao -/cb 由已知得a=680,c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402, 图1-2 于是,双曲线T的方程为 68025×3402 将y=-x代入上述方程,解得x=±680√5,y=千6805 由已知,响声应在双曲线厂的左半支,因此点P的坐标为(-6805,6805).从而 PO|=680√10(m) 因此,巨响在信息中心的西偏北45°方向,距离680√10m处 考 我们以信息中心为基点,用角和距离刻画了点P的位置.这种方法与用 直角坐标刻画点P的位置有什么区别和联系?你认为哪种方法更方便? ·························0······4··············