第一章导数及其应用 第一章 1.在高台跳水运动中,ts时运动员相对于水面的高度(单位:m)是h(t)=-4.92+6.5+10 高度h关于时间t的导数是速度v,速度v关于时间t的导数是什么? 2根据下面的文字叙述,画出相应的路程关于时间的函数图象的大 致形状 (1)汽车在笔直的公路上匀速行驶; (2)汽车在笔直的公路上不断加速行驶; (3)汽车在笔直的公路上不断减速行驶 3.根据下列条件,分别画出函数图象在这点附近的大致形状: (第2题) (1)f(1)=-5,f(1)=-1; f(5)=10,f(5)=15; (3)f(10)=20,f(10)=0 它话 L
(1 nx sinx InA =f(x Uf( 1.2 导数的计算 121儿个常用函数的导数 我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率,物理意义是运动物 体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数y=f(x),如何求它的导数呢? 根据导数的定义,求函数y=(x)的导数,就是求出当△趋近于0时,所趋 于的那个定值 下面我们求几个常用函数的导数 1.函数y=f(x)=c的导数 因为 △y_f( 所以 △ limb=0 若y=c(图1.2-1)表示路程关于时间的函数 1则y=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一 直处于静止状态 2.函数y=f(x)=x的导数 1因为 △y(x+△x)-f(x)x+△x 所以 △ lim1=l 若y=x(图1.2-2)表示路程关于时间的函数,则y=1 可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动
第一草导数及其应用 第一章 究 在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的 图象,并根据导数定义,求它们的导数 (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? :(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?一个增加得最慢? (3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关? 3.函数y=f(x)=x2的导数 因为 △yf(x+△x)-f(x)(x+△r)2 △x x2+2x·Ax+(△x)2 所以 =max=lm(2x+△x)=2 y=2x表示函数y=x2图象(图1.2-3)上点(x,y)处切 线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化.另 方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x表明 当x<0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢;当x>0 时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快.若y=x2表示路程 关于时间的函数,则y=2x可以解释为某物体作变速运动,它 在时刻x的瞬时速度为2x. 图1.23 4.函数y=f(x)=的导数 因为 △yfx+△x)=f(x)x+△x △x x-(x+△x) r(x+△x)△x △
CHAPTER 通高中课程标实猃教科书攣选修2-2 探 究 画出函数y=的图象,根据图象,描述它的变化情况,并求 出曲线在点(1,1)处的切线方程 函数y=f(x)=√x的导数 因为 △y(x+△)-f(x)yx+△r=y △x(x+△x+√x) 所以 y=rsx+△r+2x 122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 为了方便,今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表 基本初等函数的导数公式 1.若f(x)=c(c为常数),则f(x)=0; 2.若f(x)=x"(n∈Q),则f(x)=nx-1; 3.若f(x)=sinx,则f(x)=cosx; 4.若f(x)=cosx,则∫(x)=-sinx; 5.若f(x) 则f(x)=aln 6.若f(x)=e",则f(x)=e; 7.若f(x)=ogx,则f(x)=zna 若f(x)=lnx,则f( 例1假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为 5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函 数关系
第一章导数及其应用 第一章 p(1)=p0(1+5%), 其中p为t=0时的物价.假定某种商品的A=1,那么在第10个年头,这种商品的价格 上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 解:根据基本初等函数导数公式表,有 p()=1.05ln1.05 所以 p(10)=1.05ln1.05≈0.08(元/年) 因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨 考 如果上式中某种商品的p0=5,那么在第10个年头,这种商品的价格 上涨的速度大约是多少? 当p=5时,p(t)=5×1.05,这时,求p关于t的导数可以看成求函数f()=5与 g(t)=1.05乘积的导数.下面的“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函数加、减、 乘、除的求导问题 导数运算法则 1.[f(x)±g(x)]=f(x)±g'(x); 2.[f(x)·g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g'(x); s-(B=(2()≠0) 从法则2可以得出 [ef(r)l-cf(r)+cf(x)=c/(r) 也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即 [ef(r)]=cf(x). 例2根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数y=x2-2x+3的导数 解:因为 y=(x3-2x+3) (x2)-(2x)2+(3) 所以,函数y=x3-2x+3的导数是 例3日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用