2020:2月 禁止商用侵权必究 学签础命 解构“分析法” 王瑛 (进才中学,上海200135) 1“分析法”的来由 其证题思路是“执果索因”.当从条件出发 从最早的哲学家开始,便提出了把复杂的证明不等式无从下手时,或当结论中蕴含着比 事物分解为较简单的因素的组合这种认识世较丰富的信息时,我们不妨换一种思路去探寻 界的基本方法17世纪法国数学家笛卡尔提出条件和结论之间的逻辑关系,即从结论开始寻 了取得知识的原则主张把难题尽可能地分成找到达它的条件,用图示法表示如下B心 细小的部分,直到可以圆满解决,以便从最简 单、最容易的认识对象开始,上升到对复杂对 B1=B2=…Bn=A,(其中A为显 象的认识西方哲学大师罗素主张这样通过然成立的条件,B为要证明的结论) “分解拆分”而建立真理体系的方法叫作“分 上述问题的证明也可以如下方式呈现: 析”我们来看看如何解决以下问题 因为0<y< 知x>y>0,求证:√x-√y<√x 所以√y< (A)要证√x-√y<√x-y 所以2y<2√xy 因为 所以x+y-2√xy<x 所以√x-√y>0 所以(√x-√y)2<(√x-y)2 又因为√x-√y>0,√x 只需证x+y-2√xy<x-y, 所以x-√y< 只需证2y<2√xy, 这种证明方法是学生接下来要学习到的 只需证√y<√x, 综合法”此题的证明过程用“综合法”呈现有 只需证y< *)利有弊,优点是阅读起来比较流畅,可读性强, 由题设可知(*)显然成立,所以原不等式缺点是其中有几个步骤较为跳跃,学生无法想 到其实,“综合法”只是一种呈现手段,其中让 上述的证明过程其实是将结论一步步拆学生感到犹如天上掉下来一般的、较为跳跃的 中 分成我们熟悉的条件,哲学中分析的意思是分步骤,是通过“分析法”分析出来,并不是凭空 解拆分,我们把哲学上的叫法应用于数学学科想出来的给出如此的指导性建议后,相信学 浮 上,可以称如此证明不等式的方法为“分析生会更深刻地理解“分析法”的意义所在 4法”严格地说,从要证的结论出发,逐步寻求 2“分析”问题的角度 使它成立的充分条件或充要条件,直到归结为 最早哲学家提出把复杂事物分解为简单 判定一个显然成立的条件(已知、定义、公理、因素的组合这种思想是朴素的,带有猜测性 定理、性质、法则等)为止,从而证明论点的正的中国古代的五行学说认为,万物由金、木 确性、合理性的论证方法,称为分析法 水、火、土组成古希腊哲学中有万物由水、火 网址 .cbpt cnki.net 2 邮箱:zxs82486@163.com
解构“分析法” 王 瑛 (进才中学,上海 ２００１３５) １“分析法”的来由 从最早的哲学家开始,便提出了把复杂的 事物分解为较简单的因素的组合这种认识世 界的基本方法．１７世纪法国数学家笛卡尔提出 了取得知识的原则,主张把难题尽可能地分成 细小的部分,直到可以圆满解决,以便从最简 单、最容易的认识对象开始,上升到对复杂对 象的认识．西 方 哲 学 大 师 罗 素 主 张 这 样 通 过 “分解拆分”而建立真理体系的方法叫作 “分 析”．我们来看看如何解决以下问题: 已知x＞y＞０,求证:x－ y＜ x－y． (A)要证 x－ y＜ x－y, 因为x＞y＞０, 所以 x－ y＞０,x－y＞０． 只需证(x－ y)２＜(x－y)２, 只需证x＋y－２ xy＜x－y, 只需证２y＜２ xy, 只需证 y＜ x, 只需证y＜x． (∗) 由题设可知(∗)显然成立,所以原不等式 成立． 上述的证明过程其实是将结论一步步拆 分成我们熟悉的条件,哲学中分析的意思是分 解拆分,我们把哲学上的叫法应用于数学学科 上,可以 称 如 此 证 明 不 等 式 的 方 法 为 “分 析 法”．严格地说,从要证的结论出发,逐步寻求 使它成立的充分条件或充要条件,直到归结为 判定一个显然成立的条件(已知、定义、公理、 定理、性质、法则等)为止,从而证明论点的正 确性、合理性的论证方法,称为分析法[１]． 其证题思路是“执果索因”．当从条件出发 证明不等式无从下手时,或当结论中蕴含着比 较丰富的信息时,我们不妨换一种思路去探寻 条件和结论之间的逻辑关系,即从结论开始寻 找到达它的条件,用图示法表示如下:B 或 B１ 或 B２ 或 或 Bn 或 A,(其中A 为显 然成立的条件,B 为要证明的结论)． 上述问题的证明也可以如下方式呈现: 因为０＜y＜x, 所以 y＜ x． 所以２y＜２ xy． 所以x＋y－２ xy＜x－y． 所以(x－ y)２＜(x－y)２． 又因为 x－ y＞０,x－y＞０, 所以 x－ y＜ x－y． 这种证明方法是学生接下来要学习到的 “综合法”．此题的证明过程用“综合法”呈现有 利有弊,优点是阅读起来比较流畅,可读性强, 缺点是其中有几个步骤较为跳跃,学生无法想 到．其实,“综合法”只是一种呈现手段,其中让 学生感到犹如天上掉下来一般的、较为跳跃的 步骤,是通过“分析法”分析出来,并不是凭空 想出来的．给出如此的指导性建议后,相信学 生会更深刻地理解“分析法”的意义所在． ２“分析”问题的角度 最早哲学家提出把复杂事物分解为简单 因素的组合这种思 想 是 朴 素 的,带 有 猜 测 性 的．中国古代的五行学说认为,万物由金、木、 水、火、土组成．古希腊哲学中有万物由水、火、 网址:zxss．cbpt．cnki．net ２ 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
气、土组成的观点,有万物皆数的观点,有万物 只需证2√x-y·√y>0. 皆原子构成的观点20世纪30年代布尔巴基 由题设可知(*)显然成立,所以原不等式 学派的成员们以数学结构作为分类数学理论成立 的基本原则,对数作出了另一种分解数可以 回顾上述(A)(B)(C)(D)四种用“分析 作为运算,从这点着眼,分出了代数结构;数可法”进行证明的方法,我们可以发现对结论的 以比较大小,从这里分出了序结构;考虑到实理解是不相同的,(A)证法中直接对结论进行 数系具有连续性,而整数系是离散的,因而数两边平方运算,(B)和(C)证法中,证明者意识 因而我们可以发现同样是用分解拆分的到√ 具有了拓扑结构 与√x-y分别是“根号的差”与“差 “分析法”解决问题但对结论理解的不同,分的根号”,感受到了数学中的对称美,进而用平 析角度的不同,转化到的条件也会不一样比方差公式x )·(√x+√y)对 如在上述的问题中,我们还可以提供以下三种 不等式的两侧或一侧进行变形后再进行证明, 不同的证明方法 (D)证法中是先进行移项,再进行两边平方运 算.上述四种证法因分析角度的不同,所以转 (B)要证√x-√y<√x 因为 化到的条件也不同,但本质都是相同的,即搭 建了从结论到条件的桥梁 只需证(√x-√y)(x+√y)<√x-y 3“分析法”在现实中的应用 y) 课本中要求学生掌握的内容是运用分析 只需证x-y<√x 法证明不等式,其实分析法在现实生活中也有 因为x>y>0 其应用价值. 只需证√x-y<√x+√y 辩证法主张分析就是分析事物的矛盾.事 由题设可知(*)显然成立,所以原不等式物都有其原因和结果,从结果找原因就是找出 事物产生、发展的来龙去脉和规律,这就起到 (C)要证√ 了证明论点的合理性和正确性的作用在日常 因为x>y>0, 生活中,我们不妨多从失败的教训中去寻找原 只需证 因,汲取营养在日后决策中,我们也不妨多分 <√√-√),(+√).析几种可能发生的结果以及思考清楚自己所 只需证√x-√<√√x+√y 不能承受的后果,并且反推出可能引起这个结 果的原因,看看是否可以避免或调整,从而抓 只需证√y>0 (*)住问题的主要矛盾,解决好复杂的现实问题 由题设可知(*)显然成立,所以原不等式 参考文献 成立 [1]张宏翀分析法在证明不等式中的应用 (D)要证√x [J].中学生数学,2018,7(589):7 只需证x<√x-y+ [2]张景中.数学与哲学[M].大连:大连理工 只需证(√x)2<(x-y+√y)2 大学出版社,2016 只需证x<(x-y)+2√x-y·√y+y, (责审张思明) 网址 3 邮箱:zxss2486@163.com
学好基础知识 气、土组成的观点,有万物皆数的观点,有万物 皆原子构成的观点．２０世纪３０年代布尔巴基 学派的成员们以数学结构作为分类数学理论 的基本原则,对数作出了另一种分解．数可以 作为运算,从这点着眼,分出了代数结构;数可 以比较大小,从这里分出了序结构;考虑到实 数系具有连续性,而整数系是离散的,因而数 具有了拓扑结构[２]． 因而我们可以发现,同样是用分解拆分的 “分析法”解决问题,但对结论理解的不同,分 析角度的不同,转化到的条件也会不一样．比 如在上述的问题中,我们还可以提供以下三种 不同的证明方法: (B)要证 x－ y＜ x－y． 因为x,y＞０, 只需证(x － y)(x ＋ y)＜ x－y (x＋ y), 只需证x－y＜ x－y(x＋ y)． 因为x＞y＞０, 只需证 x－y＜ x＋ y． (∗) 由题设可知(∗)显然成立,所以原不等式 成立． (C)要证 x－ y＜ x－y． 因为x＞y＞０, 只需证 x－ y＜ (x－ y)(x＋ y), 只需证 x－ y ＜ x＋ y , 只需证 y＞０． (∗) 由题设可知(∗)显然成立,所以原不等式 成立． (D)要证 x－ y＜ x－y． 只需证 x＜ x－y＋ y, 只需证(x)２＜(x－y＋ y)２, 只需证x＜(x－y)＋２ x－y y＋y, 只需证２ x－y y＞０． (∗) 由题设可知(∗)显然成立,所以原不等式 成立． 回顾上 述 (A)(B)(C)(D)四 种 用 “分 析 法”进行证明的方法,我们可以发现对结论的 理解是不相同的,(A)证法中直接对结论进行 两边平方运算,(B)和(C)证法中,证明者意识 到 x－ y与 x－y分别是“根号的差”与“差 的根号”,感受到了数学中的对称美,进而用平 方差公式x－y＝(x － y)(x ＋ y)对 不等式的两侧或一侧进行变形后再进行证明, (D)证法中是先进行移项,再进行两边平方运 算．上述四种证法因分析角度的不同,所以转 化到的条件也不同,但本质都是相同的,即搭 建了从结论到条件的桥梁． ３“分析法”在现实中的应用 课本中要求学生掌握的内容是运用分析 法证明不等式,其实分析法在现实生活中也有 其应用价值． 辩证法主张分析就是分析事物的矛盾．事 物都有其原因和结果,从结果找原因就是找出 事物产生、发展的来龙去脉和规律,这就起到 了证明论点的合理性和正确性的作用．在日常 生活中,我们不妨多从失败的教训中去寻找原 因,汲取营养．在日后决策中,我们也不妨多分 析几种可能发生的结果以及思考清楚自己所 不能承受的后果,并且反推出可能引起这个结 果的原因,看看是否可以避免或调整,从而抓 住问题的主要矛盾,解决好复杂的现实问题． 参考文献 [１]张 宏 翀．分 析 法 在 证 明 不 等 式 中 的 应 用 [J]．中学生数学,２０１８,７(５８９):７． [２]张景中．数学与哲学[M]．大连:大连理工 大学出版社,２０１６． (责审 张思明) 网址:zxss．cbpt．cnki．net ３ 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
丝 2020:2月 分式求值问题 陈永 (江苏省涟水中等专业学校,江苏淮安223400) 分式求值问题综合性强,技巧性高,是中c11 考和竞赛的常见题型分式求值问题的本质是abab—c的值 代入求解,一是依据条件求出字母的值,再代 入计算;二是求出字母间的关系(无法求出字 解析要求+0babc 111 的 母的具体值),再代入约分计算当然主要思想值,需求a、b、c的值,若按常规方法是无法解 是方程思想,技巧见下提示 决的,注意到由已知作差可得:a-b=-1,b 1整体代入 c=-1,c-a=2,可采取配凑然后整体代入 例1已知1-1=4,求 的方法,事实上 (a+b+cl-bc a+ab-b的值 原式 解析由条件可得a-b=-4ab,而待求 式也含有a-b与ab的式子,所以可将a-b2ab) lab整体代人 [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] 11 ×(1+1+4)≈ b tab 原式= 主元代入 lablab (-4ab)-3ab 例3已知3x-4y-z=0,2x+y 当然,本题还可以用下面的方法,还是用 8z=0,求 的值 整体代入的方法 ab≠0, 解析把x,y作为主元,z作为字母已知 数,用z表示 Ca +ab-b)x 中 原式 3x-4 得方程组 解之得 浮 代入 +4z2+ b 4 1-43 3设参代入 例4已 例2已知a+d2=2007,b+d2 2004=200ak=24,求2+a+ 的值 网址 .cbpt cnki.net 邮箱:zxs82486@163.com
分式求值问题 陈 永 (江苏省涟水中等专业学校,江苏 淮安 ２２３４００) 分式求值问题综合性强,技巧性高,是中 考和竞赛的常见题型．分式求值问题的本质是 代入求解,一是依据条件求出字母的值,再代 入计算;二是求出字母间的关系(无法求出字 母的具体值),再代入约分计算．当然主要思想 是方程思想,技巧见下提示． １ 整体代入 例１ 已 知 １ a － １ b ＝ ４,求 a＋ab－b ２a－３ab－２b 的值． 解析 由条件可得a－b＝－４ab,而待求 式也含有a－b 与ab 的式子,所以可将a－b ＝－４ab 整体代入． 由 １ a － １ b ＝４,得a－b＝－４ab, ∴ 原 式 ＝ a－b＋ab ２(a－b)－３ab ＝ －４ab＋ab ２×(－４ab)－３ab ＝ －３ab －１１ab ＝ ３ １１ ． 当然,本题还可以用下面的方法,还是用 整体代入的方法． ∵ ab≠０, ∴ 原 式 ＝ (a＋ab－b)× １ ab (２a－３ab－２b)× １ ab ＝ １ b ＋１－ １ a ２ b －３－ ２ a ＝ １－( １ a － １ b ) －３－２( １ a － １ b ) ＝ １－４ －３－８ ＝ ３ １１ ． 例２ 已知a＋d２＝２００７,b＋d２＝ ２００８,c＋d２ ＝２００９,且abc＝２４,求 a bc ＋ b ca ＋ c ab － １ a － １ b － １ c 的值． 解析 要求 a bc ＋ b ca ＋ c ab － １ a － １ b － １ c 的 值,需求a、b、c 的值,若按常规方法是无法解 决的,注意到由已知作差可得:a－b＝－１,b －c＝－１,c－a＝２,可采取配凑然后整体代入 的方法,事实上, 原式＝ １ abc (a２＋b２＋c２－bc－ac－ab) ＝ １ ２abc (２a２ ＋２b２ ＋２c２ －２bc－２ac－ ２ab) ＝ １ ２abc [(a－b)２＋(b－c)２＋(c－a)２] ＝ １ ４８ ×(１＋１＋４)＝ １ ８ ． ２ 主元代入 例３ 已知３x－４y－z＝０,２x＋y －８z＝０,求 x２＋y２＋z２ xy＋yz＋２zx 的值． 解析 把x,y 作为主元,z 作为字母已知 数,用z 表示x,y, 得方程组 ３x－４y＝z, {２x＋y＝８z, 解之得 x＝３z, {y＝２z． 代入 x２＋y２＋z２ xy＋yz＋２zx ＝ ９z２＋４z２＋z２ ６z２＋２z２＋６z２＝１． ３ 设参代入 例４ 已知 x ２０１９ ＝ y ２０２０ ＝ z ２０２１ ≠０, 求 x＋y－z x－y＋z 的值． 网址:zxss．cbpt．cnki．net ４ 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
解析设2019-20202021=k(k≠0) 1 b+bc+ca 6 这里k为辅助参数 5降次代入 代A之十y=22019k+2020k-2021k3-x2一的知x2+x-3=0,求 则x=2019k,y=2020k,z=2021k 例6 y+z2019k-2020k+2021k 1009 解析由x2+x-3=0,得x2=3-x, l010 ∴x3=3x-x2=3x-(3-x)=4x-3. 4求倒代入 3-x2-x33-(3-x)-(4x-3) 例5已知a,c为实数,且 3(x-1) 1 bc 1 3b+c4c+a5∵ab+b+ca 的值 6局部代入 解析本题条件有三个方程求三个未知 数,a、b、c的值是可求的,只是按常规方法我 例7已知ak=1,求b+4+1+ 们很难将a、b、c的值求出来这里先求它们的 倒数, bc +b+1 ca+c+1 的值 解析 bc=1 +b 3 b+c 4 c+a 5 a+b=3.,+c=4,+a 原式 =5, 则 三式相加并整理得a+b+c ab+a+11+ab+aa+1+ab abta+ 所求式倒立得 ab+bc 1 (责审刘华为) 智慧窗《趣换数字》 智慧窗《趣填数字》 参考答案 参考答案 中 (1)12+32+182+192+ 2020 4 42+62+92+112+142+272+292 2020 (2)22+42+62+122+132+142+152+16 +172+182+192=2020 网址 邮箱:zxss2486@163.com
学好基础知识 解析 设 x ２０１９ ＝ y ２０２０ ＝ z ２０２１ ＝k(k≠０), 这里k 为辅助参数． 则x＝２０１９k,y＝２０２０k,z＝２０２１k． 代 入 x＋y－z x－y＋z ＝ ２０１９k＋２０２０k－２０２１k ２０１９k－２０２０k＋２０２１k ＝ １００９ １０１０ ． ４ 求倒代入 例５ 已知a,b,c为实数,且 ab a＋b ＝ １ ３ , bc b＋c ＝ １ ４ , ca c＋a ＝ １ ５ ,求 abc ab＋bc＋ca 的值． 解析 本题条件有三个方程求三个未知 数,a、b、c 的值是可求的,只是按常规方法我 们很难将a、b、c的值求出来．这里先求它们的 倒数, ∵ ab a＋b ＝ １ ３ , bc b＋c ＝ １ ４ , ca c＋a ＝ １ ５ , ∴ a＋b ab ＝３, b＋c bc ＝４, c＋a ca ＝５, 则 １ a ＋ １ b ＝３, １ b ＋ １ c ＝４, １ c ＋ １ a ＝５, 三式相加并整理得 １ a ＋ １ b ＋ １ c ＝６, 所求式倒立得 ab＋bc＋ca abc ＝ １ c ＋ １ a ＋ １ b ＝６, ∴ abc ab＋bc＋ca ＝ １ ６ ． ５ 降次代入 例６ 已 知 x２ ＋x －３＝０,求 ３－x２－x３ x－１ 的值． 解析 由x２＋x－３＝０,得x２＝３－x, ∴ x３＝３x－x２＝３x－(３－x)＝４x－３． ∴ ３－x２－x３ x－１ ＝ ３－(３－x)－(４x－３) x－１ ＝ －３(x－１) x－１ ＝－３． ６ 局部代入 例７ 已知abc＝１,求 a ab＋a＋１ ＋ b bc＋b＋１ ＋ c ca＋c＋１ 的值． 解析 ∵ abc＝１, ∴ 原 式 ＝ a ab＋a＋１ ＋ ab abc＋ab＋a ＋ c ca＋c＋abc ＝ a ab＋a＋１ ＋ ab １＋ab＋a ＋ １ a＋１＋ab ＝ ab＋a＋１ ab＋a＋１ ＝１． (责审 刘华为) 智慧窗《趣换数字》 参考答案 (１)１２ ＋３２ ＋１８２ ＋１９２ ＋２０２ ＋２１２ ＋２２２ ＝ ２０２０, ４２＋６２ ＋９２ ＋１１２ ＋１４２ ＋２７２ ＋２９２ ＝ ２０２０; (２)２２＋４２ ＋６２ ＋１２２ ＋１３２ ＋１４２ ＋１５２ ＋１６２ ＋１７２＋１８２＋１９２＝２０２０． 智慧窗《趣填数字》 参考答案 网址:zxss．cbpt．cnki．net ５ 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
2020:2月 恩路与方 利用凹多边形巧求角的度数和 王为民 (徐州高等师范学校,江苏徐州221116) 现行苏教版七年级下册第12章“证明”第E之间有何数量关系?为什么? 166页第9题 (4)如图6,直接写出∠A1PAn-1、∠A 如图1,在五角星 ∠A2、∠A3,……,∠An-1之间的数量关系 ABCDe中,∠A、∠B ∠C、∠D、∠E的和等 于多少度?请加以证明 张亚军老师在文 1中,给出三种求法并 给予证明本文利用对凹 多边形探究得出的结论,给出另外一种解法 并利用此方法,快速解决一类求角的度数和的 问题 1凹多边形 如果把一个多边形的所 有边中,有一条边向两方无 限延长成为一直线时,其他 各边不都在此直线的同旁 解析(1)∠A+∠B+∠C=∠BPC 那么这个多边形就叫做凹多 凹多边形 原因如下 边形,其内角中至少有一个 延长BP,交AC于D, 钝角(优角)如五角星就是凹 多边形 关于凹多边形中凸角、凹角等定义,可以 中 参阅文[2].本文所谈到的凹多边形,仅指只有 一个优角的多边形 图7 浮 2探究 所以∠BPC=∠PDC+∠C,∠PDC= 问题(1)如图3,∠BPC、∠A、∠B、∠C 之间有何数量关系?为什么? ∠A+∠B (2)如图4,∠BPC、∠A、∠B、∠C、∠D 所以∠A+∠B+∠C=∠BPC 之间有何数量关系?为什么? (2)∠A+∠B+∠C+∠D=∠BPC+ (3)如图5,∠BPC、∠A、∠B、∠C、∠D、 原因如下 网址 .cbpt cnki.net 邮箱:zxs82486@163.com
利用凹多边形巧求角的度数和 王为民 (徐州高等师范学校,江苏 徐州 ２２１１１６) 现行苏教版七年级下册第１２章“证明”第 １６６页第９题: 图１ 如 图 １,在 五 角 星 ABCDE 中,∠A、∠B、 ∠C、∠D、∠E 的 和 等 于多少度? 请加以证明． 张 亚 军 老 师 在 文 [１]中,给出三种求法并 给予证明．本文利用对凹 多边形探究得出的结论,给出另外一种解法． 并利用此方法,快速解决一类求角的度数和的 问题． １ 凹多边形 图２ 如果把一个多边形的所 有边 中,有 一 条 边 向 两 方 无 限延 长 成 为 一 直 线 时,其 他 各边 不 都 在 此 直 线 的 同 旁, 那么这个多边形就叫做凹多 边形,其 内 角 中 至 少 有 一 个 钝角(优角)．如五角星就是凹 多边形． 关于凹多边形中凸角、凹角等定义,可以 参阅文[２]．本文所谈到的凹多边形,仅指只有 一个优角的多边形． ２ 探究 问题 (１)如图３,∠BPC、∠A、∠B、∠C 之间有何数量关系? 为什么? (２)如图４,∠BPC、∠A、∠B、∠C、∠D 之间有何数量关系? 为什么? (３)如图５,∠BPC、∠A、∠B、∠C、∠D、 ∠E 之间有何数量关系? 为什么? (４)如图６,直接写出 ∠A１PAn－１、∠A１、 ∠A２、∠A３,,∠An－１之间的数量关系． 图３ 图４ 图５ 图６ 解析 (１)∠A＋∠B＋∠C＝∠BPC． 原因如下: 延长BP,交AC 于D, 图７ 所以∠BPC＝∠PDC＋∠C,∠PDC＝ ∠A＋∠B, 所以∠A＋∠B＋∠C＝∠BPC． (２)∠A ＋ ∠B＋ ∠C＋ ∠D ＝ ∠BPC＋ １８０°． 原因如下: 网址:zxss．cbpt．cnki．net ６ 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com