CHAPTER 菩通高中课程标准实猃教科书数学选修22 例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产 品,需要对原油进行冷却和加热.如果在第xh时,原油的 温度(单位:℃)为y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算 第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的 意义 解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是 f(2)和f(6). 根据导数的定义, 4=f(2+△)=(2) △ (2+△x)2-7(2+△x)+15-(2-7×2+15) 4△x+(Ax)2-7△x=△x-3, 所以, /(2)=lim ay-lim(Ar-3)=-3 同理可得 说明在第2h附近,原油温度大约以3℃/h的速率下降:在第6b算 f(6)=50 0请 学们 在第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为-3与5.它自己 具体运 近,原油温度大约以5℃/h的速率上升 般地,f(x)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况 练习 计算第3h和第5h时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义 113导数的几何意义 我们知道,导数f(x0)表示函数f(x)在x=x处的瞬时变化率,反映了函数f(x)在 r=x附近的变化情况.那么,导数f(x3)的几何意义是什么呢?
第一章导数及其应用 第一章 观 如图1.1-2,当点Pn(x,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线 察 f(x)趋近于点P(x0,f(x)时,割线PP的变化趋势是什么? 利用信息技 术工具,演示图 1.1-2中PP。的 动态变化效果 做一做,看一看! y可f(x) 图1.1-2 我们发现,当点P.趋近于点P时,割线PP趋近于确 定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线0 0此处切线定义 ( tangent line).值得关注的问题是,割线PP的斜率与切线 与以前学过的切线定又 有什么不同? PT的斜率k有什么关系呢? 容易知道,割线PPn的斜率是 k=1(x)=/(n) 当点P无限趋近于点P时,k。无限趋近于切线PT的斜率.因此,函数f(x)在 r=x处的导数就是切线PT的斜率k,即 k=Im+42=(2=f(x2) 继续观察图1.1-2,可以发现,在点P附近,PP2比 PP1更贴近曲线f(x),PP1比PP2更贴近曲线f(x)… 8数学上常用简单的 对象刻画复杂的对象例 过点P的切线PT最贴近点P附近的曲线f(x.因此,在如,用有理数3116近似 点P附近,曲线f(x)就可以用过点P的切线PT近似代替无理数元这里,我们 代替e 用曲线上某点处的切线近似 代替这一点附近的曲线,这 是微积分中重要的思想方 法一以直代曲, 例2如图1.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化 的函数h(t)=-4.9r2+6.51+10的图象.根据图象,请描 述、比较曲线h(t)在t,,t2附近的变化情况 7
CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数学选修2.2 l 解:我们用曲线h(t)在t,t,t2处的切线,刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变 化情况 (1)当t=1时,曲线h(t)在t处的切线l平行于x轴.所以,在t=to附近曲线比 较平坦,几乎没有升降 (2)当t=1时,曲线h(t在t1处的切线l1的斜率h(t1)<0.所以,在t=t1附近曲线 下降,即函数h(1)在t=1附近单调递减 (3)当t=12时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)<0.所以,在t=t2附近曲 线下降,即函数h()在t=1附近也单调递减 从图1.1-3可以看出,直线l的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度,这说明曲线h(1)在自1 附近比在t2附近下降得缓慢 )练习 根据图1.1-3,描述函数h(t)在t1和t附近增(减)以及增(减)快慢的情况 例3如图1.1-4,它表示人体血管中药物浓度c=f(1)(t的单位:min,c的单位: mg/mL)随时间t变化的函数图象.根据图象,估计t=0.2,0.4,0.6,0.8min时,血 管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1) 解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度f()在此时刻的导数.从 图象上看,它表示曲线f(n)在此点处的切线的斜率 如图1.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻 药物浓度瞬时变化率的近似值 作t=0.8处的切线,并在切线上取两点,如(0.7,0.91),(1.0,0.48),则该切线的 8圆
第一章导数及其应用 第一章 图1.14 斜率约为 0.48-0.91≈-1.4, f(0.8)≈-1.4. 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值,验证一下,这些值是否正确 药物浓度的瞬时变化率了()04007二.4 从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f(x0)是一个确定的 数.这样,当x变化时,f(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数( derivative function)(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y,即 /'(x)=y=lim /(x+Ar)-/(r) 练习 利用信息技术工具,画出函数“(V)=V(y≤的图象,并根据其图象,估计V 0.6,1.2时,气球的瞬时膨胀率
CHAPTER 替通高中课程标准实验教科书数远修2-2 习题1.1 A组 1.国家环保总局对长期超标准排放污物,污染严重而又 未进行治理的单位,规定出一定期限,强令在此期限 甲:W 内完成排污治理.右图是国家环保总局在规定的排污 达标日期前,对甲、乙两家企业连续检测的结果(W 表示排污量),哪个企业治理的效率比较高?为什么? 2.在高台跳水运动中,:s时运动员相对于水面的高度标准 (单位:m)是h()=-4.92+6.5+10.求高台跳水 运动中运动员在=1s时的瞬时速度,并解释此时的可 运动状况 (第1题) 3.一个质量m=3kg的物体作直线运动,设运动距离 (单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数 0)=1+表示,并且物体的动能E一2m,求物体开32可 始运动后第5s时的动能 4.已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比,如果车轮启动 后转动第一圈需要0.8s,求转动开始后第3.2s时的瞬 时角速度 y=f(r) 5.如图,试描述函数f(x)在x=-5,-4,-2,0,1附近 的变化情况 6.已知函数f(x)的图象,试画出其导函数f(x)图象的大致形状 (第6题 山品山山山山山 10