第二章推理与证明……… …………69 2.1合情推理与演绎推理…70 阅读与思考平面与空间中的余弦定理 2.2直接证明与间接证明……………85 2.3数学归纳法… 小结 97 复习参考题 98 第三章数系的扩充与复数的引人 101 3.1数系的扩充和复数的概念……… 3.2复数代数形式的四则运算………………107 阅读与思考代数基本定理…………113 小结…………………………115 复习参考题 116
① 你看过高台跳水比赛吗? 照片中锁定了运动员比赛的瞬间.已 知起跪!s后,运动员相对于水面的高度h(单 位:m)可用函数h(=-49r2+651+10表示,如何 求他在某一时刻的速度?他距水面的最大高度 是多少?
第一章 是导数及其应用 变化率与导数 定积分的概念 导数的计算 微积分基本定理 导数在研究函数中的应用7定积分的简单应用 生活中的优化问题举例 为了描写现实世界中运动、变化着的现象,在数学中引入了函数.刻 画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念.随 着对函数的研究的不断深化,产生了微积分,它是数学发展史上继欧氏 几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造,被誉为数学史上的里程碑 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关,一是已知物体运动的 路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度,反之,已知 物体的加速度作为时间的函数,求速度与路程;二是求曲线的切线;三 是求函数的最大值与最小值;四是求长度、面积、体积和重心等.几百 年中,科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰,终于,在17世纪中 叶,牛顿和莱布尼兹在前人探索与研究的基础上,凭着他们敏锐的直觉 和丰富的想象力,各自独立地创立了微积分 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最 大(小)值等问题的最一般、最有效的工具,因而也是解决诸如运动速度、 物种繁殖率、绿化面积增长率,以及用料最省、利润最大、效率最高等 实际问题的最有力的工具.定积分也是微积分的核心概念之一,与导数 相比,定积分的起源要早得多,它的思想萌芽甚至可以追溯到两千多年 前.自然科学和生产实践中的许多问题,如一般平面图形的面积、变速 直线运动的路程、变力所作的功等都可以归结为定积分的问题,实际上, 微积分在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等各种科学领域中都 有非常广泛而重要的应用 在本章,我们将利用丰富的背景与大量实例,学习导数和定积分的 基本概念与思想方法;通过应用导数研究函数性质、解决生活中的最优 化问题等实践活动,通过应用定积分解决一些简单的几何和物理问题, 初步感受导数和定积分在解决数学问题与实际问题中的作用;通过微积 分基本定理的学习,初步体会导数与定积分之间的内在联系
变化率与导数 1丰富多彩的变化率问题随处可见让我们从其中的两个问题,开始变化率与导数 的学习吧! /11变化率向题 1问题1气球膨胀率 很多人都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的 增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢? 我们知道,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r(V)= 当空气容量V从0增加到1L时,气球半径增加了 r(1)-r(0)≈0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r(1)-r(0 62(dm/L). 类似地,当空气容量V从1L增加到2L时,气球半径增加了 r(2)-r(1)≈0.16(dm), 气球的平均膨胀率为 r(2)=(1)≈0.16(dmL) 可以看出,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小了 2厘
第一章导数及其应用 第一章 观 察当△趋近于0时,平均速度有什么样的变化趋势? 我们发现,当△趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于 2时,平均速度都趋近于一个确定的值-13.1 从物理的角度看,时间间隔|△无限变小时,平均速度v就无 限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是 13.1m/s 0我们称确 定值-13.1是 为了表述方便,我们用 h(2+△)=h(2) h(2+△)-h(2) =-13.10 当趋近于0时 的极限 表示“当t=2,M趋近于0时,平均速度v趋近于确定值-13.1” 究 1.运动员在某一时刻to的瞬时速度怎样表示 2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示? aesusenwegubasggsgaugngnganu 般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 max-m+△y)=f(n ey|-表 我们称它为函数y=f(x)在x=x处的导数( derivative),记作示函数y关于自 f(x0)或y|-●,即 变量x在x。处的 f(ro)=lim △ im(x+△x)-f(x) 导数 17世纪,力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展,这些发展对数学提出了新 的要求,它们突出地表现为本章引言中提到的四类问题,其中的两类问题直接导致了导数 的产生:一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度;二是求已知曲线的切线 由导数的定义,我们知道,高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度;气球半 径r关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率 实际上,导数可以描述任何事物的瞬时变化率,如效率、国内生产总值GDP(G1 rOSs Domestic Product的缩写)的增长率,等等. 冒5