《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章 多元函数微分学_0907方向导数与梯度

例 1 求函数z = xe2在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点0(2,-1)的方向的方向导数解: PQ =(1,-1),:. cos α =,cosβ=V22OzOz=e?y= 2xe2y=1,而=2,(1,0)oyl1.0)(1,0)axl(1,0)V2zaz.Oz所求方向导数cosβcosα+2I(1,0)(1.0)1(1,0)alaxay008不不不高数学教学部不不不

高等数学教学部 6 PQ  (1,1), , 2 1 ,cos 2 1 cos     1, (1,0) 2 (1,0)     y e x z 2 2, (1,0) 2 (1,0)     y xe y z | (1,0) | (1,0) cos | (1,0) cos y z x z l z         . 2 2  

对于三元函数u=f(x,y,z)，它在空间一点P(xo,Jo,zo)沿着方向e,=(cosα,cos β,cosy)的方向导数，可定义为af- lim (x, + tcosa, , +t cos β,z + cosn)- f(xo, Jo,za)l(xo,Jo,z0)al1-→0+同样地，如果函数f(x,y,z)在点P,(xo,Jo,z)可微分，那末函数在该点沿任意方向é,=(cosα,cosβ,cosy)的方向导数都存在，且有aflho,ozo)= f.(xo, yo,zo)cosa + f,(xo, yo,zo)cos β + f.(xo, yo,zo)cosy.al00018个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 7 ( , , ) 0 0 0 | x y z l f   . ( cos , cos , cos ) ( , , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 t f x t y t z t f x y z t           | ( , , ) ( 0 , 0 , 0 )cos 0 0 0 f x y z l f x y z  x    f y (x0 , y0 ,z0 )cos ( , , )cos . 0 0 0 f x y z   z

例 2 设n是曲面2x2 +3y2 +z2=6 在点 P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数u=(6x2+8y2)2在点P(1,1,1)处沿方向n的方向导数解 2x2 + 3y2 + z -6 = 0, n=(4x,6y,2z)lp =(4, 6, 2),231cosβ =cos = /14方向余弦为cosa=V1414Qu6x6Qu8y8=/14ayl,z/6x2 +8y2axpz6x2+8y2/14Qu6x2 +8y2- -~/14.z2OzlpQuQuQuQucosβ+cosycosaα+azaxanlpay001018个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 8 P n  (4x,6 y,2z)|   (4, 6, 2), , 14 2 cos  , 14 3 cos  . 14 1 cos  P P z x y x x u 2 2 6 8 6     ; 14 6  P P z x y y y u 2 2 6 8 8     ; 14 8  P P z x y z u 2 2 2 6  8       14. P P z u y u x u n u ( cos cos cos )              . 7 11  2 3 6 0, 2 2 2 x  y  z  