《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章_10-2可分离变量、齐次、线性微分方程

dxdy例5求解微分方程x?- xy+ y?2y? - xyyVdy2xx解2x.dx-xv+1yxxVdudy则u+xxdxdx2u?-u儿+2-u+u2dxdl

2 2 2 d 2 d y y xy x x xy y     , 1 2 2 2                 x y x y x y x y , x y 令u  , 1 2 2 2 u u u u u xu       2 2 2 d d . 2 x y x xy y y xy  例    5 求解微分方程 解 , dx du u x dx dy 则   1 1 1 2 1 d [ ( ) ]d , 2 2 2 1 x u u u u u x       

dx22x3nu=Inx+InCn(u2u-1CxVu(u-2)微分方程的解为(y-x)2 =C y(y - 2x)3

ln ln ln , 2 1 ln( 2) 2 3 ln(u  1)  u   u  x  C . ( 2) 1 2 3 Cx u u u    微分方程的解为 ( ) ( 2 ) . 2 2 3 y  x  C y y  x 1 1 1 2 1 d [ ( ) ]d , 2 2 2 1 x u u u u u x       

三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式：dy+ P(x)y = Q(x)dx当Q(x)=0，上面方程称为齐次的当Q(x)丰0，上面方程称为非齐次的dxdy例如xsint+t2，线性的;y+xdtdxjy'-2xy=3，y'-cosy=l，非线性的

d ( ) ( ) d y P x y Q x x   一阶线性微分方程的标准形式: 当Q(x)  0, 上面方程称为齐次的. 当Q(x)  0, 上面方程称为非齐次的. 例如 d 2 , d y y x x   d 2 sin , d x x t t t   yy  2xy  3, y  cos y  1, 线性的; 非线性的. 三、 一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的解法dy+ P(x)y = 0.1.一阶线性齐次方程dx由分离变量法dy= -P(x)dx,[=-[ P(x)dx,yIn|y|= -{ P(x)dx + C,齐次方程的通解为 =Ce-Jp(x)dr

d ( ) 0. d y P x y x   d ( )d , y P x x y   d ( )d , y P x x y     1 ln y   P(x)dx  C  ， 齐次方程的通解为 ( )d . P x x y Ce    1. 一阶线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 由分离变量法

dy+ P(x)y = Q(x)2.一阶线性非齐次方程dxdyQ(x)讨论P(x)dx.VQ(x)dx -(P(x)dx,Iny两边积分yQ(x)设, :. In|y|=v(x)- [P(x)dx,dx为v(x),yy = e"(x)e-JP(x)dx即非齐次方程通解形式齐次方程的通解y= Ce- p(x)dr对照

2. 一阶线性非齐次方程 d ( ) ( ). d y P x y Q x x   讨论 d ( ) ( ) d , y Q x P x x y y          两边积分 ( ) ln d ( )d , Q x y x P x x y      ln y  v( x)  P( x)dx,  ( ) ( )d . v x P x x y e e   即非齐次方程通解形式  对照 ( ), ( )dx v x y Q x 设  为    P x dx y Ce ( ) 齐次方程的通解