E=Xi2i+X2/2+..+xnnEV我们有10()/2=(0(3), 0(2))=(x10(1)+x20(72)+ .+xno(n), X10(1)+x20(v2)+ ...+xn0(n) )=x2+x22+.+x,2=1=12所以?是正交变换
ξ =x1γ1+x2γ2+ ⋯+xnγn ∊V. 我们有 |σ(ξ)|2 = 〈σ(ξ), σ(ξ)〉 =〈x1σ(γ1)+x2σ(γ2)+ ⋯+xnσ(γn), x1σ(γ1)+x2σ(γ2)+ ⋯+xnσ(γn)〉 =x1 2+x2 2+ ⋯+xn 2=|ξ|2 所以σ是正交变换
定理8.3.3n维欧氏空间V的一个正交变换?关于V的任意规范正交基的矩阵是一个正交矩阵，反过来，如果V的一个线性变换关于V的某一个规范正交基的矩阵是一个正交矩阵，那么6是V的一个正交变换证设?是n维欧氏空间V的一个正交变换.取定V的一个规范正交基（1,2m.令关于这个基的矩阵是U=（u），那么o(v)=uj,i+u2jl2+...+unj?n,j-1,2,..n由于(21"2,…是规范正交基，所以o(1),(>2),…,(n)也是规范正交基.由定理8.2.6，U是一个正交矩阵
定理8.3.3 n维欧氏空间V的一个正交变换σ关于V的任意规范正 交基的矩阵是一个正交矩阵. 反过来,如果V的一个线性变换σ 关于V的某一个规范正交基的矩阵是一个正交矩阵,那么σ是V 的一个正交变换. 证 设σ是n维欧氏空间V的一个正交变换.取定V的一个规范正 交基{γ1, γ2, ⋯, γn}.令σ关于这个基的矩阵是U=(uij),那么 σ(γj )=u1j γ1+u2j γ2+⋯+unjγn , j=1,2, ⋯n 由于{γ1, γ2, ⋯, γn}是规范正交基,所以σ(γ1), σ(γ2), ⋯, σ(γn)也是 规范正交基.由定理8.2.6, U是一个正交矩阵