《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第二章 解析函数 2.2 第二节 函数解析的充要条件

复变函数auQu于是Ar +AuAy + e,Ar + 82Ay三axayavavAV=Ax +Ay + &3Ax + 84Ay,ayax其中lim &kK=0,(k = 1,2,3,4)Ar-→0Ay-→0因此 f(z+△z)- f(z) =QuQuavavAr +Ay+(81 +i83)Ax +(82 +i84)Ay+1+1axaxayayu

6 , 1 2 y x y y u x x u u  +  +     +   于是  =   , 3 4 y x y y v x x v v  +  +     +    =   lim 0, ( 1,2,3,4) 0 0 = =  →  → k k y x 其中  因此 f (z + z) − f (z) = ( ) ( ) . 1 3 2 4 y i x i y y v i y u x x v i x u  + +  + +         +    +        +      

复变函数avOvQuQuav由柯西一黎曼方程-axaxayaxayf(z+z)- f(z) =Quav福(x +iAy)+(e) + i83)Ax +(82 + i84)Ay+iaxaxf(z+z) - f(z)Az012QuArAyI+(82 +i84)++i83+(8)axAzAzu

7 f (z + z) − f (z) =   +  +        +   ( x i y) x v i x u ( ) ( ) . 1 3 2 4  + i x +  + i y , , 2 x v i x v y u y v x u   =   = −     =   由柯西－黎曼方程=  +  − z f (z z) f (z) +   +   x v i x u ( ) ( ) . 1 3 2 4 z y i z x i   + +    +   

复变函数ArAy因为≤1,≤1,AzAz≤Aylim=0,+i8381+i84+(82AzAzAz0Quavf(z +△z)- f(z)所以 f(z)= lim+1ax axAz△z→0即函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+yi可导[证毕]U

8 1,  1,      z y z x 因为lim ( ) ( ) 0, 1 3 2 4 0 =         + +   +  → z y i z x i z     =  +  −  =  → z f z z f z f z z ( ) ( ) ( ) lim 0 所以 . x v i x u   +   即函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在点 z = x + yi 可导. [证毕]

复变函数根据定理一,可得函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,J)在点z=x+vi处的导数公式du1audvdvf'(z)ayaxiayax函数在区域D内解析的充要条件定理二函数,f(z)=u(x,J)+iv(x,J)在其定义域 D内解析的充要条件是：u(x,y)与v(x,y)在D内可微，并且满足柯西一黎曼方程u

9 : , ( ) ( , ) ( , ) 点 处的导数公式 根据定理一 可得函数 在 z x yi f z u x y iv x y = + = + . 1 ( ) y v y u x i v i x u f z   +   =   +    = 函数在区域 D内解析的充要条件 , . : ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 内可微 并且满足柯西－黎曼方程 域 内解析的充要条件是 与 在 定理二 函 数 在其定义 D D u x y v x y f z = u x y + iv x y

复变函数解析函数的判定方法：(1)如果能用求导公式与求导法则证实复变函数 f(z)的导数在区域D内处处存在,则可根据解析函数的定义断定 f(z)在D内是解析的(2)如果复变函数 f(z)=u+iv中u,v在 D内的各一阶偏导数都存在、连续(因而u,V(x,J)可微)并满足C一R方程，那么根据解析函数的充要条件可以断定 f(z)在 D内解析

10 解析函数的判定方法: ( ) . ( ) , (1) 解析函数的定义断定 在 内是解析的 数 的导数在区域 内处处存在 则可根据 如果能用求导公式与求导法则证实复变函 f z D f z D ( ) . ) C R , ( , ( , ) (2) ( ) , 的充要条件可以断定 在 内解析 可微 并满足 方程 那么根据解析函数 的各一阶偏导数都存在、连续 因而 如果复变函数 中 在 内 f z D u v x y f z u iv u v D − = +