庄3化二次型为标准形 (1)任给可逆矩阵C,令B=CAC,如果4为对称 王阵则亦为对称阵且R(B)=R(4 牛(21任给实二次型=2m0x(x(n=m总 1 有正交变换x=P,使代化为标准形 f=1y1+λ2J2+…λnyn 牛其中x,2x,,x是/的矩阵4=(a)特征值 上页
, , ( ) ( ).. (1) , , B R B R A C B C AC A T = = 阵 则 亦为对称阵 且 任给可逆矩阵 令 如 果 为对称 , , , ( ) . , , (2) ( ), 1 2 2 2 2 2 2 1 1 , 1 其 中 是 的矩阵 的特征值 有正交变换 使 化为标准形 任给实二次型 总 f A a f y y y x Py f f a x x a a n ij n n i j ij ji n i j ij = = + + = = = = 3 化二次型为标准形
王(3)拉格朗日配方法及初等变换法亦可把 上次型化为标准形,此时所用的可逆线性变换 生般而言不是正交变换 上页
(3) , . 拉格朗日 及 亦可把 二次型化为标准形 此时所用的可逆线性变换 一般而言不 配方法 初等变 法 是正交变换 换
庄4正定二次型 王定义设有实二次型(x)=x4x如果对任何≠0 中都有(x)>0显然()=0,则称/为正定二次型并 称对称矩阵是正定的如果对任何≠0,都有f(x) 工工工 <0,则称为负定二次型并称对称矩阵4是负定的 上页
定义 0, , . ; 0, ( ) ( ) 0( (0) 0), , ( ) , 0, 则 称 为负定二次型 并称对称矩阵 是负定的 称对称矩阵 是正定的 如果对任何 都 有 都 有 显 然 则 称 为正定二次型 并 设有实二次型 如果对任何 f A A x f x f x f f f x x Ax x T = = 4 正定二次型
庄5惯性定理 设有实二次型f=x7Ax,它的秩为r,有两个 实的可逆变换 CI 及 x=1 使=k1y2+k2y2+…+k,y2(k;≠0), 及∫=1x+22+…+rx(1≠0, 则k1,k2,…,k,中正数的个数与礼1,12,…,2,中正 王数的个数相等 上页
. , , , , , , ( 0), ( 0), , , 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 数的个数相等 则 中正数的个数与 中 正 及 使 及 实的可逆变换 设有实二次型 它的秩为 有两个 r r r r i r r i T k k k f z z z f k y k y k y k x Cy x Pz f x Ax r = + + + = + + + = = = 5 惯性定理
注意k1,k2,…,k,中正数的个数称为正惯性指 数 r-p=N称为负惯性指数 s=p-N=p-(r-p)=2p-r为的符号 差. 它们是二次型对于非退化线性变换的不变 上页
. . ( ) 2 ; ; , , , 1 2 量 它们是二次型对于非退化线性变换的不变 差 称 为 的符号 称为负惯性指数 数 中正数的个数 称为正惯性指 s p N p r p p r f r p N k k kr p = − = − − = − − = 注意