《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 线性方程组 4-3 非齐次线性方程组

§4.3非齐次线性方程组 一、非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组的通解

§4.3 非齐次线性方程组 一、非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组的通解

一、非齐次线性方程组解的性质 1.对于非齐次线性方程组(4-1) 011七1+412X2+.+41nn=b1, 21七1+22x2+.+42mXn=b2, amix+am2x2+.+amnxn =bm 41 12 . 令A= 1 L22 . A2n X2 b, ,X= ,b= Qn2 xn」

一、非齐次线性方程组解的性质 1.对于非齐次线性方程组(4-1) 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + ++ =   + ++ =      + ++ = 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 , , n n n n mn n m a a a x b a a a x b A x b a a a x b                     = = =                          令

则线性方程组(4-1)可记为Ax=b. 齐次线性方程组(4-5) 411X1+a12X2+.+41mXn=0, 021X1+22X2+.+42mXn=0, amix+am2x2+.+amnxn =0. 可记为Ax=0. 我们把方程组(4-5)称为与方程组(4-1)对应的 齐次线性方程组

则线性方程组(4-1)可记为Ax=b. 齐次线性方程组(4-5) 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0 0. n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + ++ =   + ++ =     + ++ =  ， 可记为Ax=0. 我们把方程组(4-5)称为与方程组(4-1)对应的 齐次线性方程组

2.则非齐次线性方程组(4-1)的解有下面性质 性质4.3.1设x=7,和x=72是方程组(4-1)的解，则x=7 -72是对应的齐次线性方程组(4-5)的解 证明 An=b,An=b .A(7,-2)=b-b=0. 即x=71-72满足方程Ax=0. 性质4.3.2设x=7是方程组(4-1)的解，x=5是方程组 (4-2)的解，则x=7+5是方程组(4-1)的解

2.则非齐次线性方程组(4-1)的解有下面性质 证明 ( ) 0.  A 1 −2 = b − b = 0. 即x = 1 −2满足方程Ax =  A1 = b, A2 = b (4 2) , (4 1) . 4.3.2 (4 1) , 的解 则 是方程组 的解 性质 设 是方程组 的解 是方程组 − = + − = − =     x x x - (4 5) . 4.3.1 (4 1) , 2 1 2 1 是对应的齐次线性方程组 的解 性质 设 和 是方程组 的解 则 − = = − =  x  x  x 

证明A(5+7)=A5+An=0+b=b, 所以x=5+7是方程Ax=b的解. 二、非齐次线性方程组的通解 由性质4.3.1知(4-1)的任一解x总可以表示为 x=5+n 其中5是(4-5)的解，n是(4-1)的一个解. 又若方程组(4-5)的通解为 5=k51+k52++km,5n- 则方程组(4-1)的任意解总可以表示为

证明 A( +) = A + A = 0 + b = b, 所以x =  + 是方程 Ax = b的解. 二、非齐次线性方程组的通解 由性质4.3.1知 (4-1)的任一解x总可以表示为 * * (4 5) (4 1) x     = + 其中 是 − − 的解， 是 的一个解. 又若方程组(4-5)的通解为 1 1 2 2 n r n r     k k k = + ++ − − 则方程组(4-1)的任意解总可以表示为