例2.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Ⅱ的方程 解：取该平面江的法向量为 n=MM2×MM M M3 -34 -6 M2 -23-1 又Mn发建 1442製3)(z-4)=0 即 14些出明经49.-》
i j k 例2.求过三点 (14, 9, 1) M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面 的方程. 3 4 6 2 3 1 n n M1M2 M1M3 i 1 1 ( 1) 4 6 3 1 + j 1 2 ( 1) -3 -6 -2 -1 + k 1 3 ( 1) -3 4 -2 3 14 9 i j k , 又M1 即 利用点法式得平面 的方程
三、平面的一般方程 设有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2+0) ② 任取一组满足上述方程的数x0,o,20,则 Ax0+By%+C20+D=0 以上两式相减，得平面的点法式方程 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-20)=0 显然方程②与此点法式方程等价，因此方程②的图形是 法向量为=(A,B,C)的平面，此方程称为平面的一般 方程 如3x-4y+z-9=0表示一个平面，法向量为=(3，-4,1)
三、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 Ax B y Cz D 0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 0 A x0 B y0 C z0 D 显然方程②与此点法式方程等价, ( 0) 2 2 2 A B C ② n (A, B,C) 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. 如 3 4 9 0 x y z 表示一个平面,法向量为 n (3, 4,1)
Ax+By+Cz+D=0 (42+B2+C2+0) 特殊情形 ·当D=0时，Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面 ·当A=0时，By+Cz+D=0的法向量 n=(0,B,C)⊥元，平面平行于x轴： ·Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面， ·Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面； ·Cz+D=0表示平行于xOy面的平面 ·Ax+D=0表示平行于yOz面的平面； ·By+D=0表示平行于Ox面的平面
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D = 0 表示 A x By C z D 0 ( 0 ) 2 2 2 A B C 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xOy 面 的平面; 平行于 yOz 面 的平面； 平行于 zOx 面 的平面. n (0, B,C) i