§4.4子空间的交、和、直和及正交 ●目的:了解子空间相互之间的关系与运算 、子空间的交与和 定义4.13设W,W2是线性空间V的两个 子空间,则W,W2的交是 W∩W2={a|a∈W1,a∈W2 W,W2的和是 W+形2={a+B|aeW,B∈W2}
§ 4.4 子空间的交、和、直和及正交 ⚫ 目的：了解子空间相互之间的关系与运算 一、子空间的交与和 定义 4.13 设 W1 ，W2 是线性空间 V 的两个 子空间， 则W1 ，W2 的交是 W1 ，W2 的和是 W1 W2 = W1 , W2 W1 +W2 = + W1 , W2
定理4,9设W,W2是线性空间V的子空间,则 W1∩W2,W1+W2都是V的子空间 W1+W2是v中含W1UW2的最小的子空间 证明:首先证明W1∩W2是V的子空间 定理4.1:W是V的子集,满足条件: (1)W非空; (2)如果a,β∈W,则a+B∈W; (3)如果a∈W,N∈P则Aa∈W; 因为0∈W1,0∈W2,故0∈W∩W2 W1∩W2非空;
定理 4.9 设 W1 ，W2 是线性空间 V 的子空间， 则 W1 ∩W2 ， W1 + W2 都是V 的子空间. 证明：首先证明W1 ∩W2 是V 的子空间 定理 4.1: W 是 V 的子集，满足条件： (1) W 非空； (2) 如果α，β∈ W， 则α+β∈ W； (3) 如果α∈ W， λ∈ P 则 λα∈ W； ➢ 因为 0∈ W1 ，0∈ W2 ，故 0∈ W1 ∩W2 ， W1 ∩W2 非空； ➢ W1+W2是V 中含W1∪W2的最小的子空间
设a,B∈W1nW2,则a,B∈W1, a,B∈W2 >因为W(=1,2)是子空间,所以k∈F a+B∈W1,ka∈W; 于是a+B∈W1∩W2,ku∈W1∩W2,因此, W1∩W2是v的子空间 再证明W1+W2是V的子空间,记W=W1+W2 因为0∈W,0∈W2,故0∈W+W2, W非空;
➢设α，β∈W1∩W2，则α，β∈W1， α，β∈W2 ➢ 因为Wi (i = 1，2) 是子空间，所以 k∈F α+β∈Wi ，kα∈Wi ； ➢ 于是α+β∈W1∩W2，kα∈W1∩W2，因此， W1∩W2是 V 的子空间. 再证明W1 + W2 是V 的子空间，记 W= W1 + W2 ➢ 因为 0∈ W1 ，0∈ W2 ，故 0∈ W1 + W2 ， W非空；