2 X 例:求方程组20 Matlab验证 2-42 400 的最小二乘解. 解:设AX’=QRX’=b,则RX=QTb=y 41 5-211x y=Qb= 5555 4 回代求解R=y,得_/2 T
例：求方程组 的最小二乘解. = − − − - 2 1 1 -1 x x x 4 0 0 2 4 2 2 0 1 1 2 1 3 2 1 解: 设 AX’= QR X’= b，则 R X’= QT b = y = − − = = 2 -1 -1 2 1 1 1 5 1 - 5 2 5 2 5 4 - 5 2 5 4 - 5 1 5 2 - 5 4 5 2 5 2 5 1 y Q b T ➢ 回代求解 RX’= y, 得 = − − 2 -1 -1 x x x 2 4 1 5 2 1 3 2 1 T 0 1 5 2 X' - = ➢ Matlab 验证
●标准正交基上的坐标 若12,…,n是n维欧氏空间V中的一个 标准正交基,任一向量a∈V,设 =x1E1+x2E2+…+xnEn 标量投影 >用与上式两边做内积,可得x1=(E,a) a=(E12)1+(2)E2+…+(En,)En 利用标准正交基的度量矩阵,两个向量的内积变得 非常简单 (a, B)=X Er=x,yi+x2y2+.+x,y (a,a)=x2+x2+…+x
➢ 若ε1 , ε2 , ...,εn 是 n 维欧氏空间 V 中的一个 标准正交基，任一向量 ∈ V ，设 n n = x + x ++ x 1 1 2 2 ⚫ 标准正交基上的坐标 ➢ 用εi 与上式两边做内积，可得 ( ,) i i x = n n ( ,) ( ,) ( ,) = 1 1 + 2 2 ++ ➢ 利用标准正交基的度量矩阵，两个向量的内积变得 非常简单 n n T = X EY = x y + x y ++ x y 1 1 2 2 (,) 2 2 2 2 1 ( , ) n = x + x ++ x 标量投影
R4的向量组:41111 例:已知欧氏空间 B=011 (1)证明a1,a2,a3,a4是R的一个标准正交基; (2)若向量a=3a1+2a2+4a3-5a4,求‖la|和(a,B) 解:(1)因为|a1l=|l2|-=|al‖=la=1 (a2a1)=0(i≠j,ij=1,2,34 >所以a1,a2,a3,a4是R4的一个标准正交基 (2)|ll=√(a,a)=√32+22+42+(5)2=√54=3√6 (a,B)=3(ax1,B)+2(2,B)+4(ax2,B)-5(a4,B)=3-2=1 >(课本)先求B在标准正交基下的坐标,再点乘a的坐标
例：已知欧氏空间 R 4 的向量组： (1) 证明 1， 2， 3， 4 是 R 4 的一个标准正交基； (2) 若向量 = 3 1+2 2+4 3 -5 4 ，求|| ||和( ， ). − − = − − = − − = = 1 1 1 1 2 1 , 1 1 1 1 2 1 , 1 1 1 1 2 1 , 1 1 1 1 2 1 1 2 3 4 解: (1) 因为 1, 1 = 2 = 3 = 4 = ( , ) = 0 (i j, i, j =1,2,3,4) i j ➢ 所以 1， 2， 3， 4 是 R 4 的一个标准正交基. 2 2 2 2 (2) = (,) = 3 + 2 + 4 + (5) = 54 = 3 6 T = 0 0 1 1 ( , ) 3( , ) 2( , ) 4( , ) 5( , ) = 1 + 2 + 3 − 4 = 3−2 =1 ➢ (课本)先求 在标准正交基下的坐标，再点乘 的坐标
团定理4.8:设E1,2,…,En是n维欧氏空间 中的一个标准正交基,若: 81S 其中A={a;lmxn,则向量组n,mn2,…,mn是 标准正交基的充要条件是A为一个正交阵 0i≠ 证明:因为81,82,…,En是标准正交基 8: 8 n1=a11+a21E2+…+an1En 由已知 n2=a121+a2E2+…+an2E, n =an8ta2n8 t.+am8
定理 4.8: 设 ε1 , ε2 , ..., εn 是 n 维欧氏空间 V 中的一个标准正交基，若： [1 ,2 , ,n ] =[ 1 , 2 , , n ] A 其中 A=[ ai j ]n ×n ，则向量组η1 , η2 , ..., ηn 是 标准正交基的充要条件是 A 为一个正交阵. 证明: 因为ε1 , ε2 , ..., εn 是标准正交基 = = i j i j i j 1 0 ( , ) = + + + = + + + = + + + n n n n n n n n n n a a a a a a a a a 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 由已知
于是,向量n,T的内积为XY的形式 m,,)=Q11+a2;2n+…+n;C 从而(m,n,) ∫01≠/的充要条件是 0i≠ C1;C1,+C,;C,;+…+n;C 即向量组n1,n2,…,nn是标准正交基的充要条件是 AA=E 即A是一个正交阵 证毕 也就是说,同一欧氏空间中,两组标准正交基间的 过渡矩阵是正交阵
➢ 于是，向量ηi , ηj 的内积为 XT Y的形式 i j =1i 1 j +2 i 2 j ++n i n j ( , ) = + + + = i j i j i j i j n i n j 1 0 1 1 2 2 ➢ 即向量组 η1 , η2 , ..., ηn 是标准正交基的充要条件是 A A E T = ➢ 即 A 是一个正交阵. 证毕. ➢ 从而 的充要条件是 = = i j i j i j 1 0 ( , ) ➢ 也就是说，同一欧氏空间中，两组标准正交基间的 过渡矩阵是正交阵