《高等数学》课程教学资源（导学单）11、二阶线性微分方程

二阶微分方程 教学目的与要求 1.会用降阶法解下列微分方程：y=∫x),y+∫(x,y)和y=f0y,y) 2理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 3.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方 程。 4.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微 分方程的特解和通解。 5.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 6.会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 7.5可降阶的高阶微分方程 一、J=f)型的徽分方程 解法：积分n次 ym-D=∫fxk+C, y-2=[Iff(x)dx+Cilx+C2 例1求微分方程y"=e2-cosx的通解 解对所给方程接连积分三次。得 y"=e2x-sinx+C -+c0x+C+C:. +x+C+Cx+C3. 这就是所给方程的通解 或y=2e2-smx+2G, y=e2+cosx+2Cx+C2 y=ge2x+sin x+Cjx2+C2x+C3. 这就是所给方程的通解 例2质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动.设力F仅是时间1的函数：F=F), 在开始时刻0时RO)=F,随若时间1的增大，此力F均匀地减小，直到1T时，T=0.如 果开始时质点位于原点 且初速度为零，求这质点的运动规律 解设=()表示在时刻1时质点的位置，根据牛顿第二定律，质点运动的微分方程为 n器=F0

二阶微分方程 教学目的与要求 1.会用降阶法解下列微分方程： ( ) ( ) n y f x = ， y f x y   + ( , ) 和 y f y y   = ( , ) 2.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 3.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方 程。 4.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微 分方程的特解和通解。 5.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 6.会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 §7.5 可降阶的高阶微分方程 一、y (n)=f (x)型的微分方程 解法 积分 n 次 1 ( 1) y f (x)dx C n = +  −  1 2 ( 2) y [ f (x)dx C ]dx C n = + +   −     例 1 求微分方程 y=e 2x −cos x 的通解 解 对所给方程接连积分三次 得 1 2 sin 2 1 y e x C x  = − +  1 2 2 cos 4 1 y e x C x C x  = + + +  2 3 2 1 2 2 1 sin 8 1 y e x C x C x C x = + + + +  这就是所给方程的通解 或 1 2 sin 2 2 1 y e x C x  = − +  1 2 2 cos 2 4 1 y e x C x C x  = + + +  2 3 2 1 2 sin 8 1 y e x C x C x C x = + + + +  这就是所给方程的通解 例2 质量为m的质点受力F 的作用沿Ox轴作直线运动 设力F 仅是时间t的函数F=F(t) 在开始时刻 t=0 时 F(0)=F0 随着时间 t 的增大 此力 F 均匀地减小 直到 t=T 时 F(T)=0 如 果开始时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律 解 设 x=x(t)表示在时刻 t 时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为 ( ) 2 2 F t dt d x m = 

由题设，力F)随1增大而均匀地减小，且0时，FO)=F,所以F作F-:;又当T时， FT=0,从而 F)=F1-为) 于是质点运动的微分方程又写为 其初始条件为礼0=0,0-0 把微分方程两边积分，得 再积分一次，得 -+c4G 由初始条件功o-0.产-0， 得C1=C=0. 是所求质点的运动规律为 g-.e 解设=x0表示在时刻1时质点的位置， 根据牛顿第二定律，质点运动的微分方程为 =F0 由题设，F)是线性函数，且过点(0，Fo)和(T,0), 故 罗号=1，即A0=0-学 于是质点运动的微分方程又写为 - 其初始条件为-=0，xl-=0. 把微分方程两边积分，得 再积分一次，得 -C 由初始条件-=0，l=0, 得C1=C=0 于是所求质点的运动规律为 )0csT

由题设 力 F(t)随 t 增大而均匀地减小 且 t=0 时 F(0)=F0 所以 F(t)=F0−kt 又当 t=T 时 F(T)=0 从而 ( ) (1 ) 0 T t F t =F −  于是质点运动的微分方程又写为 (1 ) 0 2 2 T t m F dt d x = −  其初始条件为 x| t=0=0 | t=0=0 dt dx  把微分方程两边积分 得 1 2 0 ) 2 ( C T t t m F dt dx = − +  再积分一次 得 1 2 3 0 2 ) 2 6 1 ( C t C T t t m F x= − + +  由初始条件 x|t=0=0 | t=0=0 dt dx  得 C1=C2=0 于是所求质点的运动规律为 ) 2 6 1 ( 3 0 2 T t t m F x= −  0tT 解 设 x=x(t)表示在时刻 t 时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为 mx=F(t) 由题设 F(t)是线性函数 且过点(0 F0)和(T 0) 故 1 ( ) 0 + = T t F F t  即 ( ) (1 ) 0 T t F t = F −  于是质点运动的微分方程又写为 (1 ) 0 T t m F x  = −  其初始条件为 x|t=0=0 x|t=0=0 把微分方程两边积分 得 1 2 0 ) 2 ( C T t t m F x  = − +  再积分一次 得 2 3 0 2 ) 2 6 1 ( C T t t m F x= − +  由初始条件 x|t=0=0 x|t=0=0 得 C1=C2=0 于是所求质点的运动规律为 ) 2 6 1 ( 3 0 2 T t t m F x= −  0tT

二、y”=x,y)型的微分方程 解法：设y=印则方程化为 p'=xp). 设p'=xp)的通解为p=x,C,则 安tG 原方程的诵解为 y=o(x.Ci)dx+C2 例3求微分方程 (1+x2y"=2y 满足初始条件 yo=1,=3 的特解。 解所给方程是y”=x,y)型的.设y=印，代入方程并分离变量后，有 虫语 两边积分，得 Inlpl=In(1+x)+C. 即 p=y=Ci(l+x)(Ci=te). 由条件y-=3,得C=3, 所以 y=31+x2 两边再积分，得 =x2+3x+C 又由条件0=l,得C2=1, 于是所求的特解为 =x2+3x+l. 例4设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂，试问该绳索在 平衡状态时是怎样的曲线？ 三、y”=)型的微分方程 解法：设y=p,有 原方程化为 p柴-c叭 方程P心p的通为yGL则方程的道解为 jn4c

二、y= f(x y)型的微分方程 解法 设 y=p 则方程化为 p=f(x p) 设 p=f(x p)的通解为 p=(xC1) 则 ( , ) C1 x dx dy =  原方程的通解为 1 2 y= (x,C )dx+C    例 3 求微分方程 (1+x 2 )y=2xy 满足初始条件 y|x=0=1 y|x=0=3 的特解 解 所给方程是 y=f(x y)型的 设 y=p 代入方程并分离变量后 有 dx x x p dp 2 1 2 + =  两边积分 得 ln|p|=ln(1+x 2 )+C 即 p=y=C1(1+x 2 ) (C1=e C ) 由条件 y|x=0=3 得 C1=3 所以 y=3(1+x 2 ) 两边再积分 得 y=x 3+3x+C2 又由条件 y|x=0=1 得 C2=1 于是所求的特解为 y=x 3+3x+1 例 4 设有一均匀、柔软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试问该绳索在 平衡状态时是怎样的曲线? 三、y=f(y y)型的微分方程 解法 设 y=p有 dy dp p dx dy dy dp dx dp y  = =  =  原方程化为 f (y, p) dy dp p =  设方程 f (y, p) dy dp p = 的通解为 y=p=(y C1) 则原方程的通解为 2 1 ( , ) x C y C dy = +  

例5求微分y"-y2=0的通解 解设/-p,则y=p dy 代入方程，得 p贵-0 在0、p0时，约去p并分离变量，得 dpd少 D V 两边积分得 Inipl=Inb+inc, 即 D=Cy或y=CC=±c. 再分离变量并两边积分，便得原方程的通解为 =Cx+lnc 2=0的通解 解设'=p,则原方程化为 p来p-0, 当)0、0时，有 需p=-0 于是=片-G, 从而原方程的通解为 y-Celc=Cce. 例6一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始落向地面.求它落 到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力） S7.6高阶线性徽分方程 一、二阶线性微分方程举例 例1设有一个弹簧，上端固定，下端挂一个质量为m的物体取x轴铅直向下，并取物 体的平衡位置为坐标原点 给物体一个初始速度物0后，物体在平衡位置附近作上下振动.在振动过程中，物体的 位置x是1的函数：=). 设弹簧的弹性系数为G,则恢复力户一x

例 5 求微分 yy−y 2=0 的通解 解 设 y=p 则 dy dp y  = p  代入方程 得 0 2 − p = dy dp yp  在 y0、p0 时 约去 p 并分离变量 得 y dy p dp =  两边积分得 ln|p|=ln|y|+lnc 即 p=Cy 或 y=Cy(C=c) 再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为 ln|y|=Cx+lnc1 或 y=C1e Cx (C1=c1) 例 5 求微分 yy−y 2=0 的通解 解 设 y=p 则原方程化为 0 2 − p = dy dp yp  当 y0、p0 时 有 0 1 − p = dy y dp  于是 p e C y dy y 1 1 =  =  即 y−C1y=0 从而原方程的通解为 C dx C x y C e C e 1 1 2 = 2  =  例 6 一个离地面很高的物体受地球引力的作用由静止开始落向地面 求它落 到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力） §7.6 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 例1 设有一个弹簧 上端固定 下端挂一个质量为m 的物体 取x 轴铅直向下 并取物 体的平衡位置为坐标原点 给物体一个初始速度 v00 后 物体在平衡位置附近作上下振动 在振动过程中 物体的 位置 x 是 t 的函数 x=x(t) 设弹簧的弹性系数为 c 则恢复力 f=−cx

又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比，比例系数为：则 R-$ 由牛顿第二定律得 m=-密 移项并记2n=片k2=品 则上式化为 +2+=0. 这就是在有阻尼的情况下，物体自由振动的微分方程。 如果振动物体还受到铅直扰力 F=Hsinpt 的作用，则有 器+2会+m, 其中h=卫.这就是强迫振动的微分方程 例2设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路，其中R、L、及C 为常数，电源电动势是时间1的函数：E=Esino,这里En及a也是常数 设电路中的电流为)，电容器极板上的电量为q),两极板间的电压为，自感电动势为E, 由电学知道 1路4=是，E=-l出 根据回路电压定律，得 E-t由-名-=0， 即 或写成 d-uc 中一品，一衣·这藏是中联电路的表酱方程 如果电容器经充电后撤去外电源(E=0),则上述成为 器+20-0. 二阶线性微分方程：二阶线性微分方程的一般形式为 y+P(x)y+Q(x)y=fx). 若方程右端x)=0时，方程称为齐次的，否则称为非齐次的

又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比 比例系数为  则 dt dx R−  由牛顿第二定律得 dt dx cx dt d x m =− − 2 2  移项 并记 m n  2 =  m c k = 2  则上式化为 2 0 2 2 2 + +k x= dt dx n dt d x  这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程 如果振动物体还受到铅直扰力 F=Hsin pt 的作用 则有 k x h pt dt dx n dt d x 2 sin 2 2 2 + + =  其中 m H h=  这就是强迫振动的微分方程 例 2 设有一个由电阻 R、自感 L、电容 C 和电源 E 串联组成的电路 其中 R、L、及 C 为常数 电源电动势是时间 t 的函数 E=Emsint 这里 Em及  也是常数 设电路中的电流为i(t) 电容器极板上的电量为q(t) 两极板间的电压为uc 自感电动势为EL  由电学知道 dt dq i =  C q uc =  dt di EL =−L  根据回路电压定律 得 − − −Ri =0 C q dt di E L  即 u E t dt du RC dt d u LC c m c c sin 2 2 + + =  或写成 t LC E u dt du dt d u m c c c 2 0 2 sin 2 2 + + =  其中 L R 2  =  LC 1 0 =  这就是串联电路的振荡方程 如果电容器经充电后撤去外电源(E=0) 则上述成为 2 0 2 2 0 2 + + c = c c u dt du dt d u    二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为 y+P(x)y+Q(x)y=f(x) 若方程右端 f(x)0 时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的