第四章不定积分 教学目的与要求 1.理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。 2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元 积分法与分部积分法。 3.求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 一、一元函数积分的概念、性质与基本定理 1、原函数、不定积分 在区间I上，如F(x)=f(x),称fx)为Fx)的导函数，称Fx)为f(x)的原函 数，原函数与导函数是一种互逆关系。 如Fx)为f(x)的一个原函数，则F()+C为f()的全体原函数。 记为[fx)dx,即[fx)dx=F(x)+C 不定积积分性质 (1)(ff(x)dx)'=f(x)dff(x)dx=f(xdx (2)「F'(x)dx=Fx)+C (3)∫k f(x)dx=k∫fx)dx (④)「(fx)±gx)dx=「fx)dx±gx)dx :原函数与导函数有互逆关系， 由导数表可得积分表。 例、已知FX)是nX的一个原函数， 求：dF(sinx) 解：F'=n X dFsn对-mcosxdx dsinx sinx
第四章不定积分 教学目的与要求 1．理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。 2． 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元 积分法与分部积分法。 3． 求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 一、一元函数积分的概念、性质与基本定理 1、原函数、不定积分 在区间Ⅰ上，如 F (x) f(x) / = ，称 f(x) 为 F(x) 的导函数，称 F(x) 为 f(x) 的原函 数，原函数与导函数是一种互逆关系。 如 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则 F(x)+ C 为 f(x) 的全体原函数。 记为 f(x)dx ，即 f(x)dx=F(x)+ C 不定积积分性质 (1) ( f(x)dx) f(x) / = 或 d f(x)dx = f(x)dx (2) F (x)dx F(x) C / = + (3) = k f(x)dx k f(x)dx (4) = (f(x) g(x))dx f(x)dx g(x)dx ∵原函数与导函数有互逆关系, ∴由导数表可得积分表。 例、 已知 F(x) 是 x ln x 的一个原函数， 求： dF(sin x) 解： x lnx F (x) / = cosxdx sinx lnsinx dsinx dsinx dF(sinx) dF(sin x) = =
例、f(x)的导函数是sinx,则f(x)的原函数 -sinX+C,X+c2,(c,、c,为任意常数) 例、在下列等式中，正确的结果是C A、∫f'(x)dx=fK) B、「dfx)=fx) c&f6eds=的 D、df(x)dx=fx) 例、小-之=jxx0-灿 =J(xi-xxdx +C 2、计算方法 1°换元法 第一类换元法（凑微分法） 常用凑微分形式 dkx=kdx d(x+c)=dx e*dx=de* I dx=dinx X cosx=dsinx 2友=d版 sec'xdx =dtanx
例、 f(x) 的导函数是 sin x ，则 f(x) 的原函数 1 2 − sin x + c x + c ，( 1 c 、 2 c 为任意常数) 例、在下列等式中，正确的结果是 C A、 ( ) f (x)dx = f x / B、 df(x) = f(x) C、 f (x)dx = f(x) dx d D、d f (x)dx = f(x) 例、 )dx x 1 )dx x x (1 x 1 x x (1 2 4 1 2 1 2 − = − (x - x )dx 4 5 4 3 − = x 4x C 7 4 4 1 4 7 = + + − 2、计算方法 1 0 换元法 第一类换元法（凑微分法） 常用凑微分形式 dkx = kdx d(x + c)= dx x x e dx = de dx dlnx x 1 = cosx = dsin x x 1 dx d x 1 2 − = dx d x 2 x 1 = sec xdx dtan x 2 =
-文dk=daesin 1 dx=dvI+x 1+x 晨=d- sin2x dx =dsin'x -sin2x dx=-dcos2x 例： 2、∫dx-fdn x=子w)+c 3.fcosxsin'xdx=fsin'xdsinx=sin+c 小jdx=-a=-+ 5.fe'ds-feucye （a 8+2x+5dx=可+iW+4+c -am+c a文dxn5+e dx dx 10j+12xx5-2-3网
dx d arc sin x 1 - x 1 2 = 2 2 dx d 1 x 1 x x = + + 2 2 dx d 1 x 1 - x - x = − sin 2x dx dsin x2 = sin2x dx dcos x2 − = − 例：1、 − = − − + − = − − ln 3 2x c 21 d(3 2x) 3 2x 1 21 dx 3 2x 1 2 、 = = (lnx) + c 32 dx lnx d ln x x ln x 23 3 、 = = sin x + c 41 cos x sin xdx sin x d sin x 3 3 4 4 、 = − d 1- x = 1− x + c 21 d x 1- xx 2 2 2 5、 = − = − e + c 31 e d(-x) 31 x e dx 3 3 -x 3 -x 3 2 -x 6、 = + + = + c ax arc tan a1 ax d ax 1 1 a1 dx a x 1 2 2 2 7 、 = + + = + c a 2x arctan 61 d2x 3 (2x) 1 21 d x 9 4x 1 2 2 2 8 、 + + + = + + d(x 1) c (x 1) 4 1 d x x 2 x 5 1 2 2 c 2 x 1 arctan 21 + + = 9 、 = + c ax d x arcsin a - x 1 2 2 10 、 − − = + 2 2 5 (2 3x) dx 1 12x - 9x dx
= jaem=amte 12.[tan'xdx=ftan'x(sec'x-1)dx =∫tan2 xd tan x-∫(scc2x-ldwy =itan'x-tanx+x+C l3、∫csn'X4k=faresin'xdarcsn V1-x2 -arcsin'x+C l4、∫esin(e+l)dx=∫sin(e+l)d(e+l) =-cos(e*+1)+C 15、cosds=-2fcos√KdVF =2sinx+C 层= =2arctanxdarctanx =arctan2√X+C -e -x-fd(te) 1+e* =x-In(I+e*)+C
31 = − c 5 2 3x arc sin + − 11 、 d(tanx 1) 2 tanx 1 c tan x 1 1 tan x 1 sec x2 + = + + + = + 1 2 、 tan xdx = tan x(sec x − 1 )dx 4 2 2 tan xd tan x (sec x 1)dx 2 2 = − − tan x tan x x C 31 3 = − + + 1 3 、 dx arcsin xdarcsin x 1 x arcsin x 4 2 4 = − arcsin x C 51 5 = + 1 4 、 e sin(e +1)dx = sin( e +1)d(e +1) x x x x cos(e 1) C x = − + + 15 、 = ds 2 cos x d x x cos x = 2sin x + C 16 、 d x 1 x arctan x dx 2 (1 x ) x arctan x + = + = 2 arctan x darctan x arctan x C 2 = + 17 、 dx 1 e 1 e e dx 1 e 1 x x x x + + − = + + = − dx 1 e e 1 x x ( ) ++ = − x x 1 e d 1 e x x ln (1 e ) C x = − + +
1814 de' aectan e 方号-+e++c -r-p+mc 解：∫x'l+nxk=∫ed(xInx) =+C=x*+C 0解oedk=dn =tanxinsinx-tanox tanxInsinx-x+C .dmed =-∫tanxde-tn =-tanxe-tanx+eta'dtanx =-tanxe-ianx-e-ianx +C 22、设jxf(xHk=arcsinx+C,则 ∫0=30-x+c 二。第二换元法 定理2 除了凑微分法外其它常用变量代换 (1)被积函数中含有二次根式
18、 + − + = + − e (e 4) de e 4 de dx e 4 e 1 x 2x x 2x x 2x x x 2x x x x de e 4 e e 1 4 1 2 e arctan 2 1 + = − − ln(e 4) C 8 1 4 x 2 e arctan 2 1 2x x = − + + + 19、 + + = + + dx x 3sinx 3x 3cosx 3 1 dx x 3sinx x cosx 3 2 3 2 ( ) = + + + + = ln x 3sinx C 3 1 x 3sinx d x 3sin x 3 1 3 3 3 解： ( ) ( ) + = x 1 lnx dx e d xlnx x xlnx e C x C xlnx x = + = + 20、解： = dx lnsinxdtanx cos x lnsinx 2 = − dx sinx cosx tanxlnsinx tanx = tanxlnsinx − x + C 21、 − − e dx = tanxe dtanx cos x sinx tanx tanx 3 − = − tanx tanxde − − = −tanxe + e dtanx tanx tanx tanxe e C tanx tanx = − − + − − 22、设 xf(x)dx = arcsin x + C ，则 ( ) ( ) = − 1− x +C 3 1 f x dx 3 2 二．第二换元法 定理 2 除了凑微分法外其它常用变量代换 (1)被积函数中含有二次根式