第一章：函数与极限 教学目的与要求 15学时 1解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关 系 .掌握极限的性质及四则运算法则。 7了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 第一节：映射与函数 一、樂合 1、樂合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A,B,C,D表示集合：用a,b,c,d表示集合中的元素 1)A={a,a2,a3, 2)A={x的性质P; 元素与集合的关系：aAa∈A 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集：不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N,Z,Q,R,N 元素与集合的关系： A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A 是B的子集，记作ACB。 如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作A=B 若作ACB且A≠B则称A是B的真子集。 空集p:中cA 2、集合的运算 并集AUB：AUB=K|x∈A或x∈B时 交集AnB:AB=K|x∈A且x∈B)
第一章：函数与极限 教学目的与要求 15 学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关 系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 第一节：映射与函数 一、集合 1、 集合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用 A，B，C，D 表示集合；用 a，b，c，d 表示集合中的元素 1) { , , , } A = a1 a2 a3 2) A ={x x的性质P} 元素与集合的关系： a A a A 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N，Z，Q，R，N+ 元素与集合的关系： A、B 是两个集合，如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，记作 A B。 如果集合 A 与集合 B 互为子集，则称 A 与 B 相等，记作 A = B 若作 A B 且 A B 则称 A 是 B 的真子集。 空集 ： A 2、 集合的运算 并集 A B ： AB ={x | x A或xB} 交集 A B ： AB ={x | x A且xB}
差集A\B:A八B={xx∈A且xEB 全集1、E补集AC: 集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律、AUB=BUA AnB=BOA 结合律、(AUB)UC=AU(BUC) (40B)OC=40(BOC) 分配律(AUB)nC=(AnC)U(BnC) (AnB)UC=(AUC)(BUC) 对偶律(AUB)=A∩B(AnB)=AUB 笛卡儿积A×B={(x,)川x∈A且y∈B 3、区间和邻域 开区间(a,b) 闭区间[a, 半开半闭区间(a,)[a,b) 有限、无限区间 邻域：U(a)U(a,)={a-6<x<a+ a邻域的中心6邻域的半径 去心邻域U(a,6) 左、右邻域 二、映射 1.映射概念 定义设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则∫，使得对X中的每一个元素x,按 法则∫，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称∫为从X到Y的映射，记作
差集 A\ B： A\ B ={x | x A且xB} 全集 I 、E 补集 C A ： 集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律、 A B = B A A B = B A 结合律、 (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) 分配律 (A B) C = (AC) (B C) (A B) C = (AC) (B C) 对偶律 ( c c c A B) = A B c c c (A B) = A B 笛卡儿积 A×B ={(x, y)| x A且yB} 3、 区间和邻域 开区间 (a,b) 闭区间 a,b 半开半闭区间 (a,b a,b) 有限、无限区间 邻域： U(a) U(a, ) ={x a − x a +} a 邻域的中心 邻域的半径 去心邻域 U(a, ) 左、右邻域 二、映射 1. 映射概念 定义 设 X，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 f ，使得对 X 中的每一个元素 x ，按 法则 f ，在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应，则称 f 为从 X 到 Y 的映射，记作
fX→Y 其中y称为元素x的像，并记作fx),即y=fx) 注意：1)集合X:集合Y:对应法则∫ 2)每个X有唯一的像：每个Y的原像不唯 3)单射、满射、双射 2、映射、复合映射 三、函数 1、函数的概念： 定义：设数集DCR,则称映射f:D→R为定义在D上的函数记为 y=fx)x∈D 自变量、因变量、定义域、值域、函数值 用f、g、o 函数相等：定义域、对应法则相等 自然定义函数：单值函数：多值函数、单值分枝 例：1)y=2 2)y= 1 x>0 3)符号函数 y=0 x=0 -1 x<0 4)取整函数y=[x](阶梯曲线) 列分段函数y=+xx>1 2x0≤x≤1 2、函数的几种特性 1)函数的有界性（上界、下界：有界、无界） 有界的充要条件：既有上界又有下界
f：X → Y 其中 y 称为元素 x 的像，并记作 f (x) ，即 y = f (x) 注意：1）集合 X；集合 Y；对应法则 f 2）每个 X 有唯一的像；每个 Y 的原像不唯一 3) 单射、满射、双射 2、 映射、复合映射 三、函数 1、 函数的概念： 定义：设数集 D R ，则称映射 f : D → R 为定义在 D 上的函数 记 为 y = f (x) x D 自变量、因变量、定义域、值域、函数值 用 f 、 g 、 函数相等：定义域、对应法则相等 自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝. 例：１) ｙ＝２ 2) ｙ＝ x 3) 符号函数 4) 取整函数 y = x （阶梯曲线） 5) 分段函数 + = 1 1 2 0 1 x x x x y 2、 函数的几种特性 1） 函数的有界性 (上界、下界；有界、无界) 有界的充要条件：既有上界又有下界。 − = = 1 0 0 0 1 0 x x x y
注：不同函数、不同定义域，有界性变化。 2)函数的单调性（单增、单减）在x1、x?点比较函数值 f(x)与f(x2)的大小（注：与区间有关） 3)函数的奇偶性（定义域对称、f(x)与f(-x)关系决定） 图形特点（关于原点、Y轴对称） 4)函数的周期性（定义域中成立：f(x+)=fx) 3、 反函数与复合函数 反函数：函数∫：D→(D)是单射，则有逆映射~(y)=x,称此映射∫为∫函数的 反函数 函数与反函数的图像关y=x于对称 复合函数：函数u=g)定义域为D,函数y=f)在D上有定义、且fD)CD, 则u=g(f(x》=gf(x)为复合函数。（注意：构成条件） 4、函数的运算 和、差、积、商（注：只有定义域相同的函数才能运算） 5、初等函数： 1)幕函数：y=x 2)指数函数：y=a 3)对数函数y=log.(x) 4)三角函数 y=sin(x),y=cos(x),y=tan(x),y=cot(x) 5)反三角函数 y=arcsin(x),y=arccos(x) y=arctan(x)y=arccot(x) 以上五种函数为基本初等函数 6双曲函数
注：不同函数、不同定义域，有界性变化。 2) 函数的单调性 （单增、单减）在 x1、x2 点比较函数值 ( ) 1 f x 与 ( ) 2 f x 的大小（注：与区间有关） 3) 函数的奇偶性(定义域对称、 f (x) 与 f (−x) 关系决定) 图形特点 (关于原点、Y 轴对称) 4)函数的周期性(定义域中成立： f (x + l) = f (x) ) 3、 反函数与复合函数 反函数：函数 f : D → f (D) 是单射，则有逆映射 f y = x − ( ) 1 ，称此映射 −1 f 为 f 函数的 反函数 函数与反函数的图像关 y = x 于对称 复合函数：函数 u = g( y) 定义域为 D1，函数 y = f (x) 在 D 上有定义、且 1 f (D) D 。 则 u = g( f (x)) = g f (x) 为复合函数。(注意：构成条件) 4、 函数的运算 和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算) 5、 初等函数： 1) 幂函数： a y = x 2)指数函数： x y = a 3) 对数函数 y log (x) = a 4)三角函数 y = sin( x), y = cos(x), y = tan( x), y = cot(x) 5) 反三角函数 y = arcsin( x) ， y = arccos( x) y = arctan( x) y = arc cot(x) 以上五种函数为基本初等函数 6) 双曲函数
sh=e'-e chx e"+e-x 2 2 thx=shat e"-e chx e+ex 注：双曲函数的单调性、奇偶性。 双曲函数公式 sh(x+y)=shx-chy +chx.shy sh(x-y)=shr·chy-chr·shy ch(x+y)=chr·chy+shr·shy ch(x-y)=chx.chy-shx.shy y arshx 反双曲函数：y=arCh y=arthx 作业：同步练习册练习 第二节：数列的极限 一、数列 数列就是由数组成的序列。 1)这个序列中的每个数都编了号。 2)序列中有无限多个成员。 般写成：4142a3a4.a。. 缩写为{un} 例1数列马是这样一个数列任，》其中 n 名-片n-12345 也可写为：
2 x x e e shx − − = 2 x x e e chx − + = x x x x e e e e chx shx thx − − + − = = 注：双曲函数的单调性、奇偶性。 双曲函数公式 ch x y chx chy shx shy ch x y chx chy shx shy sh x y shx chy chx shy sh x y shx chy chx shy − = − + = + − = − + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 反双曲函数： y arthx y archx y arshx = = = 作业： 同步练习册练习一 第二节：数列的极限 一、数列 数列就是由数组成的序列。 1）这个序列中的每个数都编了号。 2）序列中有无限多个成员。 一般写成： a1 a2 a3 a4 an 缩写为 un 例 1 数列 n 1 是这样一个数列 xn ，其中 n xn 1 = ， n = 1,2,3,4,5 也可写为：