函数的连续性 教学目的与要求 1,理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 2.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大 值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。 第八节：函数的连续性与间断点 一、函数在一点的连续性 函数∫在点x。连续，当且仅当该点的函数值f(x。)、左极限f(x。-O)与右极限f(x。+O) 三者相等： fxo-0)=fx)=f(x。+0) 或者：当且仅当函数∫在点x。有极限且此极限等于该点的函数值。 mf()=fx)其形式定义如下： e<038x-xl<)/(x)-fx<e 函数在区间(a,b)连续指：区间中每一点都连续。 函数在区间[ab]连续时注意端点。 注：左右连续，在区间上连续注意端点) 连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线 二、间断点 若：f(x。-0)=f(x)=fx+0)中有某一个等式不成立，就间断，分为： 1、第一类间断点： 可去型：f八o-0)=f八o+0)但)≠f) 跳跃型：f(x。+0)≠fx。-0) 即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。 2、第二类间断点x。:左极限f(x。一0)与右极限f(x。+0)两者之中至少有一个不存在（无 穷型间断点和振酱型间断点) 例：见教材
函数的连续性 教学目的与要求 1.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 2.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大 值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 第八节：函数的连续性与间断点 一、 函数在一点的连续性 函数 f 在点 0 x 连续，当且仅当该点的函数值 ( ) 0 f x 、左极限 ( 0) f x0 − 与右极限 ( 0) f x0 + 三者相等： ( 0) ( ) ( 0) f x0 − = f x0 = f x0 + 或者：当且仅当函数 f 在点 0 x 有极限且此极限等于该点的函数值 。 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 其形式定义如下： 0 ( − ) ( ) − ( ) 0 0 x x x f x f x 函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续。 函数在区间［a,b］连续时注意端点。 注：左右连续，在区间上连续(注意端点) 连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线 二、间断点 若： ( 0) ( ) ( 0) f x0 − = f x0 = f x0 + 中有某一个等式不成立，就间断，分为： 1、 第一类间断点： 可去型： ( 0) ( 0) f x0 − = f x0 + 但 lim ( ) ( )0 0 f x f x x x → 跳跃型： ( 0) ( 0) f x0 + f x0 − 即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。 2 、第二类间断点 0 x ：左极限 ( 0) f x0 − 与右极限 ( 0) f x0 + 两者之中至少有一个不存在（无 穷型间断点和振荡型间断点） 例：见教材
第九节：连续函数的运算与初等西数的连续性 一、连续函数的四则运算 1mf=f(x)且m8)=gx) lim a-f(x)+B.g(x)=a.f(xo)+B.g(xo) 2mfy=f,)且mg)=g), li f(x)*g(x))=f(xo)*g(xo) 3.mf)=f3,)且m8)=go)≠0. 典得 反函数连续定理：如果函数∫：y=f(x)x∈D,是严格单调增加（减少）并且连续 的，则存在它的反函数：x=fy)y∈D并且∫也是严格单调增加（减少》 并且连续的。 注：1)反函数的定义域就是原来的值域， 2)通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成 y=f-(x)x∈D 复合函数的连续性定理： 设函数∫和g满足复合条件。CD,若函数g在点x连续：g(x）=山，又若 函数在点山。连续，则复合函数∫。g在点x。连续。 注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换： limf(g(x)》=f(lmg(x)》 从这些基本初等函数出，通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数， 并且：初等函数在其定义区间内连续。 第十节：闭区间上连续函数的性质
第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的四则运算 1. lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 且 lim ( ) ( ) 0 0 g x g x x x = → ， lim ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x g x f x g x x x + = + → 2 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 且 lim ( ) ( ) 0 0 g x g x x x = → ， lim ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x g x f x g x x x = → 3. lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 且 lim ( ) ( 0 ) 0 0 = → g x g x x x ， ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 g x f x g x f x x x = → 反函数连续定理：如果函数 Df f : y = f (x) x 是严格单调增加（减少）并且连续 的，则存在它的反函数 −1 f ： Df x = f y y − ( ) 1 并且 −1 f 也是严格单调增加（减少） 并且连续的。 注： 1）反函数的定义域就是原来的值域。 2）通常惯用 X 表示自变量，Y 表示因变量。反函数也可表成 ( ) 1 1 = − − f y f x x D 复合函数的连续性定理： 设函数 f 和 g 满足复合条件 g Df ，若函数 g 在点 x0连续； 0 0 g(x ) = u ，又若 f 函数在点 0 u 连续，则复合函数 f g 在点 0 x 连续。 注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换： lim ( ( )) (lim ( )) 0 0 f g x f g x x→x x→x = 从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数， 并且：初等函数在其定义区间内连续。 第十节：闭区间上连续函数的性质
一、最大、最小值 设西数：y=f(x),x∈D在上有界，现在问在值域 D=y=f(x),xED 中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点x∈D的函数值。=f(x。), 则记%=max{/(x)叫做函数在D上的最大值。 类似地，如果D,中有一个最小实数，譬如说它是某个点x?∈D,的函数值 力=，则记乃=四/（少路为函数在上的最小值。 二、有界性 有界性定理：如果函数∫在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界。 三、零点、介值定理 最大值和最小值定理：如果函数∫在闭区间[a,b]上连续则它在[4，b]上有最大值和最小值， 也就是说存在两个点s和，使得 f(s)sfx)sfn),x∈[a,b 亦即 fG)=盟，fx}f)=ex奶 若使f(x)=0,则称x为函数的零点 零点定理： 如果函数f在闭区间a,b]上连续，且f在区间a,b]的两个端点异号：f(a)*f(b)<0则 至少有一个零点5∈(a,b),使f(5)=0 中值定理： 如果函数f在闭区间a,b上连续，则∫在a,b上能取到它的最大值和最小值之间的任
一、 最大、最小值 设函数： y = f (x), xD 在上有界，现在问在值域 D1 = y y = f (x), x D 中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点 x0 D 的函数值 ( ) 0 0 y = f x ， 则记 y0 maxf (x) xD = 叫做函数在 D 上的最大值。 类似地 ，如果 D f 中有一个最小 实数，譬如说它是某个 点 Df x2 的函数值 ( ) 2 2 y = f x ，则记 y2 min f (x) Df x = 称为函数在上的最小值 。 二、有界性 有界性定理：如果函数 f 在闭区间 a,b 上连续，则它在 a,b 上有界。 三、零点、介值定理 最大值和最小值定理：如果函数 f 在闭区间 a,b 上连续则它在 a,b 上有最大值和最小值， 也就是说存在两个点 和 ，使得 f ( ) f (x) f (), xa,b 亦即 ( ) min ( ) , f f x x a b = ( ) max ( ) , f f x x a b = 若 x0 使 f (x0 ) = 0 ，则称 x0 为函数的零点 零点定理： 如果函数 f 在闭区间 a,b 上连续，且 f 在区间 a,b 的两个端点异号： f (a) * f (b) 0 则 至少有一个零点 (a,b) ，使 f ( ) = 0 中值定理： 如果函数 f 在闭区间 a,b 上连续，则 f 在 a,b 上能取到它的最大值 和最小 值 之间的任
何一个中间值。 作业：见课后各章节练习
何一个中间值。 作业：见课后各章节练习