HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定理4非零的正交组是线性无关的。 证:设a1a2,,m是一组非零正交组,并设 K1a1+ k2C2 +.+kmam=0 用a1与等式两边作内积,得 0=(0,x1)=k1(ax1,ax1)+k2(a2,a1)+…+k(a1,0x1)+ +km am, al 得k1=0, 类似地:用c(=2,3,…,m)与等式两边作内积, 得k=0,(=2,3,,m),故a1,2,…,Cxm线性无关。 AO 高等粤
定理4 非零的正交组是线性无关的。 证：设1 ,2 ,…,m是一组非零正交组，并设 k11+ k22 +…+kmm= 0 用 1 与等式两边作内积，得 0=(0,1 )=k1 (1 ,1 )+k2 (2 ,1 )+…+ki (i ,1 )+… +km(m,1 ) 类似地：用i ( i=2,3,…, m)与等式两边作内积， 得 k1=0, 得ki=0, (i=2,3,…,m),故1 ,2 ,…,m线性无关
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 2、施密特( Schmidt)正交化 设a1,a2,,am是一组线性无关的向量,利 用这组向量可构造出正交向量组。 1.正交化 (1)令β 01 (2)求/2=a2+月1使 0=(B2,B1)=(Q2+1B1,B1) =(a2,B1)+1(61,B1 得1=-(02,B3)(B1,B1,B2=a2-02B; (B1,B1 AO 高等粤
设1 ,2 ,…,m是一组线性无关的向量，利 用这组向量可构造出正交向量组。 1. 正交化 (1) 令 1=1； (2) 求 2=2+1 1使 0=( 2 , 1 )=(2+1 1 , 1 ) = (2 , 1 )+1 ( 1 , 1 ) . 得1=−(2 , 1 )/( 1 , 1 ), ; ( , ) ( , ) 1 1 1 2 1 2 2 = − 2、施密特(Schmidt)正交化
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (3)求B3=a3+41B1+12B2,使 0=(B3 B+A13+1(B1B1)+12,1 0=(B3,B2)=(a3+1B1+2/2,2) =(a3,2)+1B1B2)+12(B2,B2) 得1 (a3,B1) (B,B),= (a3,B2) (B2,B2) (a3,B1)。(a3,B2) B3 B1 B2 (B13B1)(B2,B2) AO 高等粤
(3) 求 3=3+1 1+2 2 , 使 =(3 , 1 )+1 ( 1 , 1 )+2 ( 2 , 1 ) 0=( 3 , 1 )=(3+1 1+2 2 , 1 ) =(3 , 2 )+1 ( 1 , 2 )+2 ( 2 , 2 ) 0=( 3 , 2 ) = (3+1 1+2 2 , 2 ) 得 , ( , ) ( , ) 1 1 3 1 1 = − ( , ) ( , ) 2 2 3 2 2 − = 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) = − −
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (4)类似地,得: B= (a1,B1)。(a B1 B2) B2 (a12B21) B (B12B1)(B2,B2) (B13B21) B1,B2,…,Bm是一组正交组。 AO 高等粤
(4) 类似地，得： 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) − − − − = − − − − i i i i i i i i i (i=1,2,…,m) 1 , 2 , …, m 是一组正交组
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 2.单位化 取 Bu, y B2 B2 Bn 则1,2,…,m是一组正交的单位向量组。 以上方法称为施密特( schmidt)正交化方法 它包括正交化和单位化两个过程。 AO 高等粤
2. 单位化 取 , | | 1 1 1 1 = , , | | 1 2 2 2 = . | | 1 m m m = 则 1 , 2 , …, m 是一组正交的单位向量组。 —— 以上方法称为施密特(schmidt)正交化方法 它包括正交化和单位化两个过程