HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG §4欧氏空间 在R"中引进内积运算,建立n维欧氏空间概念 →n维向量的长度 →n维向量间的夹角 →n维向量间的关系 AO 高等粤
在R n 中引进内积运算，建立n维欧氏空间概念 n维向量的长度 n维向量间的夹角 n维向量间的关系 §4 欧氏空间
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 、向量的内积 定义1设n维向量 (X1,X2…,xXn),B=(y1,y2.,yn 定义数:X1y1+X2y2+…+Xnyn 为向量a与B的内积,记为(a,B) 即(a,B)=X1y1+x2y2 T.TX nn 注:定义了内积的n维向量空 间R称为n维 欧氏空间( Euclid Space),仍记为R AO 高等粤
一、向量的内积 定义1 设 n 维向量 =(x1 , x2 …, xn ), =(y1 , y2…, yn ). 定义数：x1 y1+x2 y2+…+ xn yn 为向量 与 的内积，记为 ( , ). 即( , ) = x1 y1+x2 y2+…+xn yn . 注：定义了内积的 n 维向量空 间Rn称为 n 维 欧氏空间(Euclid Space)，仍记为 Rn
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 性质 (1)交换律(aB=(B,a); (2)分配律(a+B,y)=(a,y)+(B,y) (3)内积满足如下结合律 (na, B)=(a, aB)=n(a,B); hER (2)与(3)等价于 (a+4B,y)=(ax,y)+4(B,y);、∈R (4)非负性(a,a)≥0,且(a,a)=0a=0. AO 高等粤
性质 (1) 交换律 (,)=(,); (2) 分配律 (+, )=(,)+(,); (2)与(3)等价于 (+,)= (,)+ (,); 、R (4) 非负性 (,)0, 且(,)=0 =0. (3) 内积满足如下结合律: (,)=(,)=(,); R
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 二、向量的长度与夹角 定义2设n维向量a=(a1,a2,…,an)称 lakv(a, a)=va+a2+.+an 为向量α的模(或长度) 特别:|a=1的向量a称为单位向量, C 当a≠0my/a/为一单位向量称为c的单位化 AO 高等粤
定义2 设 n 维向量=(a1 ,a2 ,…,an ).称 | | ( , ) . 2 2 2 2 = = a1 + a ++ an 为向量 的模(或长度). 特别：| | = 1的向量 称为单位向量， | | 当 0时， 为一单位向量称为 的单位化。 二、向量的长度与夹角
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 长度的性质: Va,B,y∈R,∈R,则 (1)非负性a≥0,若(a=0a=0; (2)正齐次性2a=4|al (3)三角不等式|a+Bs|a+ AO 高等粤
,,Rn ,R,则 (2) 正齐次性 ||=||·||; (3) 三角不等式 |+|||+||. 长度的性质: (1) 非负性 || 0,若||=0 = 0;