匚高等数学 81-5多元复合函数的导数 、链式法则
§1－5 多元复合函数的导数 一、链式法则
匚高等数学 定理1设=),=以x)在点x处可导而 z=f(u40)在x对应的点(,)可微 复合函数z=f(u(x),v(x)在点x处 可导 且 d_adnz,d(公式也称为 dx au dx ay dx链式法则) 证:只要证m4c △ △v △x→)0△xAx→>0△xOv△x->0△x 从而只要证△2=·△2△+0(△x)即可 au
则复合函数 z = f ( u(x), v(x))在点 x 处 可导. 且 x v v z x u u z x z d d d d d d + = (公式也称为 链式法则) 证: 设 u = u(x), v = v(x) 在点 x 处可导. 而 z = f (u, v)在 x 对应的点(u, v)可微. lim lim lim , 0 0 0 x v v z x u u z x z x x x + = 只要证 → → → 从而只要证 v 0( x)即可. v z u u z z + + = 定理1
匚高等数学 给x以改变量Ax,因u,v是x的函数,可 得v,v的改变量△L,△v 又因z是u,v的函数,进而得到A 因z=f(l2)在(l2y)可微
又因 z 是 u, v 的函数, 进而得到z. 因 z = f (u, v)在 (u, v)可微. 给 x 以改变量x, 因u, v 是x的函数, 可 得u, v 的改变量u, v
匚高等数学 az △=△△+0(√△2+△v 同除以Δx≠0,得 Axan△x×O(A12+△2) Aaz△naz△ △x 令Ax>0,得 dz az du az dy t li 0(√△n2+△n2) dx au dx av dx ax→>0 △x
同除以 x 0, 得 x u v x v v z x u u z x z + + + = 0( ) 2 2 令 x → 0, 得 x u v x v v z x u u z x z x + + + = → 0( ) lim d d d d d d 2 2 0 0( ) 2 2 v u v v z u u z z + + + =
匚高等数学 注意到当Ax→0时,△,A趋于0.从而 0(√△n2+△v2)imnO(√△a2+△v2),△n2+Av △x>0 △ △x→>0 △n2+△y2 △x 2 0(√△2+△y2 △Z △ 4x0√△n2+△2N(A 0 △X 无穷小乘有界量 dz az du az dv 故 dx a dx av dx
从而 x u v x + → 0( ) lim 2 2 0 x u v u v u v x + + + = → 2 2 2 2 2 2 0 0( ) lim + + + = → 2 2 2 2 2 2 0 0( ) lim x v x u u v u v x = 0 x v v z x u u z x z d d d d d d + 故 = 注意到当 x → 0时, u , v 趋于0. 无穷小乘有界量