HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定理1( Chauchy-Schwarz不等式) (a,B)≤a‖lf (a,B)|=a‖f 向量a和B线性相关 重要不等式1b1421∑b2 i=1 i=1 AO 高等粤
定理 1 (Chauchy-Schwarz不等式) | (, ) | | || | | (, ) | = | || | 向量 和 线性相关. | | . 1 2 1 2 1 = = = n i i n i i i n i 重要不等式 ai b a b
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定义3 设a,B为尺中两个向量,定义a与的夹角为 Ka, B)=arccos (a,B) 特别: 当(a,B)=0时,称a与B垂直(正交) 记为a⊥B AO 高等粤
定义 3 . | || | ( , ) , arccos = 记为⊥ . 设,为Rn中两个向量，定义与的夹角为 当(,)=0时，称与 垂直(正交) 特别:
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定理2(勾股定理) 设a1,a2,,ck为欧氏空间R中两两正交的向 量,即(G,0)=0,j,则 1+a2…+a|2=01-+0/+.+Ck 证:|a1+a2+.+aAP2 (a1+a2+.+ak,a1+a2+.+a) Ca,2a)=∑∑(a1,a1)=∑(a1 J- + 2 AO 高等粤
定理2 (勾股定理) 设1 ,2 ,…,k为欧氏空间Rn中两两正交的向 量，即(i ,j )=0,ij，则 |1+2+…+k | 2=|1 | 2+|2 | 2+…+|k | 2 证: ( , ) 1 1 = = = k j j k i i = = k i 1 ( , ) 1 = = k i i i =|1 | 2+|2 | 2+…+|k | 2 |1+2+…+k | 2 = (1+2+…+k ,1+2+…+k ) ( , ) 1 = k j i j
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例1已知ax(1,2,2,3),G(3,1,5,1),求a与 β长度及它们的夹角<ax,B 解:‖a|=√a,a)=3√2, B|=√(B,B)=6 而(aB)=18 18 故<a,B>= arccos arccos 3√2.6 AO 高等粤
例1 已知=(1,2,2,3),=(3,1,5,1),求与 的长度及它们的夹角<,>. 解： || ||= (,) = 3 2, || ||= (,) = 6 而 (, )=18 故 3 2 6 18 , arccos = . 2 4 2 arccos = =
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 三、标准正交基 1、正交向量组 定义4若(a,b)=0,则称a与b是正交的,记 作a⊥b 注:零向量与任何向量正交 定义5在欧氏空间中,一组两两正交的向量 组称为正交向量组。 AO 高等粤
1、正交向量组 定义4 若(a,b)=0，则称a与b是正交的，记 作 a⊥b。 注：零向量与任何向量正交。 定义5 在欧氏空间中，一组两两正交的向量 组称为正交向量组。 三、标准正交基