匚高等数学 第二节三重积分 一、三重积分的概念及性质 例.非均匀分布立体的质量 设有空间立体Ω,当Ω的质量是均匀分布时, 入则Ω的质量M=g2的体密度×Ω的体积 若9的质量不是均匀分布的,则不能上述方 式算质量M 设空间立体g.其质量非均匀分布,体密度 μ(x,y,z)连续,求9的质量M
例. 非均匀分布立体的质量 设有空间立体, 当的质量是均匀分布时, 则的质量M= 的体密度× 的体积. 若的质量不是均匀分布的, 则不能上述方 式算质量M . 设空间立体. 其质量非均匀分布, 体密度 (x , y , z)连续, 求的质量 M. 第二节 三重积分 一、三重积分的概念及性质
匚高等数学 ()将豆分成n个小立体1,92,9n 记△V表示的Ω2,的体积,i=1,2,,n 由于(x,y,z)连续,从而当9很小时 在92上(x,y,2)的变化不大可近似 看作不变
(i) 将分成 n 个小立体 1 , 2 ,…, n , 记 Vi 表示的i 的体积, i = 1, 2, …, n. 由于 (x , y , z)连续, 从而当i很小时, 在i上 (x , y , z) 的变化不大. 可近似 看作不变
匚高等数学 ()即,V(5,m,)∈D1,以(5,m1,)作为2 的体密度从而,的质量 m1≈p(n,)△V (i)因此,的质量M≈∑A(2m25)△v (iv)若记A=max{的直径} 1≤i<n 则M=1im∑(5,m,)△V )0
(ii) 即, ( i , i , i ) Di , 以 ( i , i , i )作为 i 的体密度. 从而, i的质量 mi ( i , i , i ) V i (iii) 因此, 的质量 = n i M i i i Vi 1 ( , , ) (iv) max{ }, 1 若记 i的直径 i n = lim ( , , ) . 1 0 → = = n i M i i i Vi 则
匚高等数学 定义1 设g<R3为有界闭区域,f(x,y,z)是定义在g上 的有界函数将任意分成n个无公共内点的小区域 21,(i=1,2,…,n),用△表示g2的体积并记 2=m2的直径(x,,E)e只2,作和/(x,y,2A I<i i<n 如果对任意的分法和任意的取法,当λ→>0时,和式 ∑f(x,y,=)AV的极限都存在且为则称f(x,y)在 g2上可积记为f(x,y2)∈R(g)
设R3为有界闭区域, f (x, y, z)是定义在上 的有界函数. 将任意分成 n 个无公共内点的小区域 i , (i =1, 2, …, n), 用Vi表示i的体积. 并记 max{ }. 1 i 的直径 i n = ( , , ) , ( , , ) , 1 i n i xi yi zi i f xi yi zi V = 作和 如果对任意的分法和任意的取法, 当 →0时, 和式 ( , , ) . 1 f x y z V I i n i i i i 的极限都存在且为 = 则称 f (x, y, z)在 上可积, 记为f (x, y, z)R(), 定义1
匚高等数学 并称此极限值为f(x,y,=)在g上的三重积分,记作 (3yh,即 )=m2/(x,)AP 其中“「”称为三重积分号,称为积分区域,f (x,y,z)称为被积函数,d称为体积元素,三重积分也 (x, y, zdxdydz Q
并称此极限值I为f (x, y, z)在上的三重积分, 记作 = → = n i i i i Vi f x y z dv f x y z 1 0 ( , , ) lim ( , , ) 其中 “ ” 称为三重积分号, 称为积分区域, f (x, y, z)称为被积函数, dv称为体积元素, 三重积分也 记为 f (x, y,z)dxdydz. ( , , ) , f x y z dv 即