HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例2将线性无关组a1=(20),2=(1,1)化 成正交的单位向量组 解:(1)正交化 令B1=a1=(2,0) B (a2,B1) (B12B1) B1=(,1)-(2,0)=(0, 4 (2)单位化 B1=(1,0),y2=B2=(0 B 则y,y是一组正交的单位向量组。 AO 高等粤
例2 将线性无关组1=(2,0),2=(1,1)化 成正交的单位向量组 解： (1) 正交化 令 1=1=(2,0) 1 1 1 2 1 2 2 ( , ) ( , ) = − (2,0) (0,1) 4 2 = (1,1) − = (2) 单位化 (1,0), | | 1 1 1 1 = = (0,1), 2 = 2 = 则1 , 2是一组正交的单位向量组
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 3、标准正交基 定义6在n维欧氏空间V中若一个基的 向量α1,2,…,cxn是两两正交的单位向量,即 ali, ali 0.H 则称该基为标准正交基。 AO 高等粤
定义6 在 n 维欧氏空间 V 中若一个基的 n 个向量1 , 2 , …, n 是两两正交的单位向量，即 (i ,j )= 1.i=j 0.ij 则称该基为标准正交基。 3、标准正交基
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例如:R中, (1,0,,0),e2=(0,1,,0) en=(0,0,,1) 就是一个标准正交基。 AO 高等粤
e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),… en=(0,0,…,1) 就是一个标准正交基。 例如： Rn中
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例3证明月1=(,,0O),B2=(,,OO) B3=(00,,=,B4=(0,,=) 为R4的标准正交基. 证:(,B)=(+(3=1,即|B;|=1,1,2,3,4 且(B1,B2) +()(-)=0 (B1,B3)=(B1,B4)=0,(B2,B3)=(B2,B4)=0, (B3,B4)=0.故B1,B2B3,B为尺的标准正交基 AO 高等粤
证: ( i , i ) = 2 ) 2 1 + ( = 1, 2 ) 2 1 ( 且 ( , ) 1 2 ) 2 1 ) ( 2 1 + ( − = 0， 2 1 2 1 = ( , ) ( , ) 0, 1 3 = 1 4 = ( 2 , 3 ) = ( 2 , 4 ) = 0， ( , ) 0. 3 4 = 故 1 , 2 , 3 , 4为R4的标准正交基. 例3 ,0,0), 2 1 , 2 1 ,0,0), ( 2 1 , 2 1 ( 1 = 2 = − ) 2 1 , 2 1 ), (0,0, 2 1 , 2 1 (0,0, 3 = 4 = − 为 R4 的标准正交基. 证明 即|i|=1,i=1,2,3,4
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 注:利用施密特正交化方法,可从欧氏 空间的任一个基出发,找到一个标准正交基。 AO 高等粤
注：利用施密特正交化方法，可从欧氏 空间的任一个基出发，找到一个标准正交基