匚高等数学 §1-3多元函数的偏导数
§1－3 多元函数的偏导数
匚高等数学 、偏导数的定义 在二元函数z=f(x,y)中,有两个自变量x,y,但 若固定其中一个自变量,比如,令y=y而让x变化 则=成为一元函数z=f(x,y),我们可用讨论一元 函数的方法来讨论它的导数,称为偏导数
在二元函数 z = f (x, y)中, 有两个自变量 x, y, 但 若固定其中一个自变量, 比如, 令y = y0 , 而让 x 变化. 则 z 成为一元函数 z = f (x, y0 ), 我们可用讨论一元 函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数. 一、偏导数的定义
匚高等数学 定 义设z=f(x)=f(x,y)在x=(xny)的 某邻域U(X0)内有定义固定y=y,在x0 给x以增量Δx.相应函数增量记作 △x2=f(x+△x2y0)-f(x,y) 称为z在点X处关于x的偏增量
设 z = f (X) = f (x, y) 在 X0 = (x0 , y0 ) 的 某邻域 U(X0 )内有定义. 固定 y = y0 , 在 x0 给 x 以增量 x . 相应函数增量记作 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 z f x x y f x y x = + − 称为 z 在点 X0 处关于 x 的偏增量. 定 义
匚高等数学 如果极限imA2=mCn+△x1)/(x0)存在 △x->0△xAx→>0 △x 则 称这个极限值为z=f(x,y)在(x,yo)处对x的偏 导数记作f(xf(x0,y) ax y=y y=yo 即入f(x,y)=m(+Ax,y)-f(x2,y) Ax→ △x 此时也称f(x,y)在(xo2y0)处对x的偏导数存在否则 称/(xy)在(xy)处对x的偏导数不存在
. ( , ) ( , ) lim lim 0 0 0 0 0 0 如果极限 存在 x f x x y f x y x z x x x + − = → → 则称这个极限值为 z = f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处对 x 的偏 导数. ( , ), 0 0 f x y x 记作 即 x f x x y f x y f x y x x + − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 此时也称 f (x, y)在(x0 , y0 ) 处对x 的偏导数存在. 否则 称f (x, y)在(x0 , y0 ) 处对x的偏导数不存在. , 0 0 y y x x x z = = x f x y x f y y x x = = ( , ) 0 0 0 0 或
匚高等数学 类似若固定x=x而让y变,=f(y减成 为y的一元函数 若极限m△2=m(x+y)-/(x,n)存在 △y->0△x △x 则称它为z=f(x2y)在(x02y)处对y的偏导数 记作 yo) az of 0 或 y=) 甲fr(x0,y0)=li f(o, yo +ay)-f(xo, yo) △y->0 △
类似, 若固定 x = x0 , 而让 y 变, z = f (x0 , y)成 为 y 的一元函数. . ( , ) ( , ) lim lim 0 0 0 0 0 0 若极限 存在 x f x y y f x y x z y y y + − = → → 则称它为z = f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数. y f x y y f y z f x y y y y x x y y x x y = = = = ( , ) ( , ), , 0 0 0 0 0 0 0 0 记作 或 即 y f x y y f x y f x y y y + − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0