NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 54-5微分中值定理 罗尔中值定理 引理(费马):设y=(x)在开区间(an,b)内有定义 在x∈(a,b)处取得最大值(最小值) 且f(x)在x处可导,则f(x)=0 证:因f(x)在x处可导 故1im(xb+Ax)-f(x) △x f(x),存在 OD 高等數粤
一、罗尔中值定理 引理(费马):设y =f (x)在开区间(a, b)内有定义. 在x0(a, b)处取得最大值(最小值), 且 f (x)在x0处可导, 则 f '(x0 ) = 0. 证: 因f (x)在x0处可导. ( ), . ( ) ( ) lim 0 0 0 0 故 f x 存在 x f x x f x x = + − → §4－5 微分中值定理
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 从而imf(x+△x)-f(x=minf(x+△x)-f(x) △ Ax→>0 设f(x0)为f(x)在开区间(a,b)内的最大值 即,x∈(a,b)有f(x)≤f(xo)因xn∈(a,b) 故当Ax充分小时,有x0+Ax∈(an,b 从而f(x+4x)-f()×0 OD 高等數粤
x f x x f x x f x x f x x x + − = + − + → − → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 从而 ( ) 0 = f x 设f (x0 )为f (x)在开区间(a, b)内的最大值, 即, x(a, b), 有 f (x) f (x0 ). 故当|x|充分小时, 有x0+x (a, b), 从而 f (x0+x) – f (x0 ) 0 因x0(a, b)
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (1)当Ax>0时f(+△x)-f(x)<0.令△x→>0, 由保号性定理, f(o)=li f(x+△x)-f( △ OD 高等數粤
(1)当x >0时, 0, ( ) ( ) 0 0 + − x f x x f x 由保号性定理, 0. ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → + x f x x f x f x x 令x →0 +
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 2)当Ax<0时,(x+△x)-f④20,令Ax→>0, 由保号性定理,(x)=imf(x4x)-/(x)20 △x 综合(1)2)有0≤f(x)0,故f(xo)=0, 类似可证∫(x)在x取最小值的情形 OD 高等數粤
(2)当x <0时, 0, ( ) ( ) 0 0 + − x f x x f x 由保号性定理, 0. ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → − x f x x f x f x x 令x →0 – , 综合(1),(2)有0 f '(x0 ) 0, 故 f '(x0 ) = 0, 类似可证f (x)在x0取最小值的情形
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 注1.因f(xo)表示曲线y≠f(x)上点Mx0,f(x)处切 线斜率而(x)=表示该点处切线斜率为0 因此,引理在几何上表示若yf(x)在(an,b) 内部某点x处取最大(小)值,且在x可导,则 在M(xo,f(xo)处的切线平行于x轴.如图 OD 高等數粤
注1. 因f '(x0 )表示曲线y =f (x)上点M(x0 , f (x0 ))处切 线斜率. 而f '(x0 )=0表示该点处切线斜率为0. 因此, 引理在几何上表示: 若y =f (x)在(a, b) 内部某点x0处取最大(小)值, 且在x0可导, 则 在M(x0 , f (x0 ))处的切线平行于x轴. 如图