NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 54-3高阶导数 设y=f(x),若y≠(x)可导,则f(x)是x的函 数若f(x)仍可导,则可求f(x)的导数记作(f (x)y=f"(x)称为f(x)的二阶导数若f"(x)仍可导, 则又可求∫"x)的导数, OD 高等數粤
设 y = f (x), 若y =f (x)可导, 则f '(x)是x的函 数.若f '(x)仍可导, 则可求f '(x)的导数.记作 (f '(x))'=f ''(x).称为f (x)的二阶导数.若f ''(x)仍可导, 则又可求f ''(x)的导数,…. §4－3 高阶导数
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 般,设yf(x)的导数y=f(x)存在且 仍可导,记)导数为y,y”或(x) 即,2=y”=f"(x)=(f(x)y,称为(x)的 二阶导数 若y仍可导记y=y3=f(x)=((x) dx 称为f(x)的三阶导数 OD 高等數粤
一般, 设y= f (x)的导数y' = f '(x)存在且 仍可导, 记f '(x)的导数为 , ( ). d d 2 2 y f x x y 或 ( ) ( ( )) , d d , 2 2 = y = f x = f x x y 即 ( ) ( ( )) d d , (3) (3) 3 3 = y = f x = f x x y 若y 仍可导 记 称为f (x)的三阶导数. 二阶导数. 称为f (x)的
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 一般,若ym仍可导记y=y0)=-m(x)=(m( 称为f(x)的n阶导数 阶以上的导数都称为高阶导数记Cm(I) 为区间I上所有具有m阶连续导数的函数所成 集合为统一符号,有时记yo=y,=y,y12)=y OD 高等數粤
( ) ( ( )) d d , , ( 1) ( ) ( ) ( 1) = = = − − y f x f x x y y n n n n n 一般 若 n 仍可导 记 称为f (x)的n阶导数. 二阶以上的导数都称为高阶导数.记Cm(I) 为区间I上所有具有m阶连续导数的函数所成 集合. 为统一符号, 有时记y (0)=y, y (1)=y', y (2)=y
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例1.设物体作变速运动.在[0,这段时间内 所走路程为S=S(t),指出S"()的物理意义 解:我们知道,S′=K(1).而S"=( 注意到,△=V(t+△)-()表示在[t,t+△t 这段时间内速度()的增量(改变量).从而 △ =a表示在△这段时间内的平均加速度 △t 故lim △p a().即,S"=()=a()为物体 △->0△t 在时刻加速度 OD 高等數粤
例1. 设物体作变速运动. 在[0, t]这段时间内 所走路程为S = S(t), 指出S''(t)的物理意义. 解: 我们知道, S'=V(t). 而S''=V'(t) 注意到, V = V ( t +t)−V(t)表示在[t, t +t] 这段时间内速度V(t)的增量(改变量). 从而 a 表示在 t这段时间内的平均加速度. t V = 故 lim ( ). 0 a t t V t = → 即, S'' = V'(t) = a(t)为物体 在时刻t的加速度
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例2.验证y=x4满足2(y)2=(y-)y x-3 解 1+ x-4 xX 2(x-4) 2 X 从而 2 (y)2-(y-1)y x x-4(x-4)3 OD 高等數粤
例2. 2( ) ( 1) . 43 2 y y y xx y = − −− 验证 = 满足 解: 43 −− = xx y 4 1 1 − = + x. ( 4) 1 2 − = − x y 4 ( 4) 2( 4) − − − = − x x y 从而 3 2 2 2 ( 4) 2 4 1 ( 4) 1 2( ) ( 1) 2 − − − −− − − = x x x y y y = 0 3 ( 4 ) 2− = x