HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 二、空间曲线及其方程 1.空间曲线的一般方程 设有两块曲面SS2,它们的 方程依次为: F(x,y,z)=0 S2:G(x,y,z)=0 X S1,S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程 而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程 因此 F(x,y2)=0 G(x,y,2)=0 即为交线C的方程,称为空间曲线C的一般方程 AO 高等粤
设有两块曲面S1 , S2 , 它们的 方程依次为: S1 : F (x, y, z) = 0 S2 : G (x, y, z) = 0 S1 , S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程, 而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程. 因此 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 即为交线C的方程, 称为空间曲线C的一般方程. (2) x y z o S1 S2 C 二、空间曲线及其方程 1. 空间曲线的一般方程
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例5:柱面x2+y2=1与平面x+y+z2 的交线是一个圆,它的一般方程是12 x++=2 AO 高等粤
x 2+y 2=1 x+y+z=2. y x z 0 例5: 柱面 x 2 + y 2 = 1与平面x+y+z=2 的交线是一个圆, 它的一般方程是
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 2.空间曲线的参数方程 将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个 参数的函数 X-x (t) y=y(t (3) 2=2 当给定t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着t 的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做 空间曲线的参数方程 AO 高等粤
2. 空间曲线的参数方程 将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个 参数t的函数. x = x (t) y = y (t) (3) z = z (t) 当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t 的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做 空间曲线的参数方程
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例6:如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以 角速度绕z轴旋转,同时又以线速度ν沿 平行于z轴的正方向上升(其中O,v都是常数) 那末点M构成的图形叫做螺旋线,试建立其 参数方程 ∠ 解:取时间t为参数,设当t=0时, 动点位于x轴上的一点 A(a,0,0)处,经过时间t,由A 运动到Mx,y,z),M在xOy面 t 上的投影为M(x,y,0 AO 高等粤
例6: 如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 + y 2 = a 2上以 角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿 平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其 参数方程. 解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A 运动到M(x, y, z), M在xOy面 上的投影为M (x, y, 0). x y z h A t OM M
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (1)动点在圆柱面上以角速度O绕轴旋转, 所以经过时间t,∠AOM′=O.从而 x=| OM.COS∠AOM′= acos@ t y= OM.Sin∠AOM′= asino t (2)动点同时以线速度ν沿z轴向上升因而 z=MM=vt 得螺旋线的参数方程 x= acos t y=asino t z= vt 注:还可以用其它变量作参数 M AO 高等粤
(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM = t. 从而 x = |OM | ·cosAOM = acos t y = |OM | ·sinAOM = asin t (2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而 z = MM = vt 得螺旋线的参数方程 x = acos t y = asin t z = vt 注: 还可以用其它变量作参数. x y z A OM t M