例1设{X,k=1,2,}是互不相关的随机变量序 列,且EX=0,EX=a2,则有 Rx(h, D=EIXkX, h=l 0.k≠L。 即相关函数只与k-有关,所以它是宽平稳的 随机序列如果X1,X2 ●·● ●●● 又是独立同分布 的,则易证序列也是严平稳的
12 例1 设{Xk , k=1,2,...}是互不相关的随机变量序 列, 且E[Xk ]=0, E[Xk 2 ]=s2 , 则有 = = = 0, . , , ( , ) [ ] 2 k l k l RX k l E Xk Xl s 即相关函数只与k-l有关, 所以它是宽平稳的 随机序列. 如果X1 ,X2 ,...,Xk ,...又是独立同分布 的, 则易证序列也是严平稳的
例2设s()是一周期为T的函数,已是在(0,m)上 服从均匀分布的随机变量,称X(=s(计+b为随 机相位周期过程.试讨论它的平稳性 解由假设,@的概率密度为 f(0)={1/7,0<0<7, 0 其它 于是,X()的均值函数为 EIX(]= EIs(t+O)=s(t+0)-d8 T t+T s()dφ T
13 例2 设s(t)是一周期为T的函数, Q是在(0,T)上 服从均匀分布的随机变量, 称X(t)=s(t+Q)为随 机相位周期过程. 试讨论它的平稳性. 解 由假设, Q的概率密度为 = 0, . 1/ , 0 , ( ) 其 它 T T f ( )d . 1 d 1 [ ( )] [ ( )] ( ) 0 + = = + = + t T t T s T T E X t E s t s t Q 于是, X(t)的均值函数为
利用(q)的周期性,可知 1 cT E|XDs()d0=常数 而自相关函数 Rx(t, t+t)=Els(t +o)(t+T+ol T s(t+O)s(t+t+0-d8 T t+T s(q)s(q+z)dφ T
14 利用s()的周期性, 可知 ( )d . 1 [ ( )] 0 = = 常 数 T s T E X t ( ) ( )d . 1 d 1 ( ) ( ) ( , ) [ ( ) ( )] 0 + = + = + + + + = + + + t T t T X s s T T s t s t R t t E s t s t t t t Q t Q 而自相关函数
同样,利用s()s(q+o)的周期性,可知自相关函 数仅与关,即 记成 Rx(t, t+t) s(os(+rdo=r(t), T 所以随机相位周期过程是平稳的特别,随机 相位正弦波是平稳的
15 同样, 利用s()s(+t)的周期性, 可知自相关函 数仅与t有关, 即 ( ) ( )d ( ), 1 ( , ) 0 t t t X T X s s R T R t t 记 成 + = + = 所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机 相位正弦波是平稳的
例3考虑随机电报信号信号X()由只取+/域或 电流给出.这里 P{X()=+}=P{X()=-}=1/2; 而正负号在区间(什内变化的次数Nt,计2 是随机的,且假设N(汁服从泊松分布, x()
16 例3 考虑随机电报信号. 信号X(t)由只取+I或 -I的电流给出. 这里 P{X(t)=+I}=P{X(t)=-I}=1/2; 而正负号在区间(t,t+t)内变化的次数N(t,t+t) 是随机的, 且假设N(t,t+t)服从泊松分布, O t -I I x(t)