第五章大数定律及中心极限定理
2 第五章 大数定律及中心极限定理
s1大数定律
3 §1 大数定律
在第一章提到过事件发生的频率具有稳定性, 即随着试验次数的增加,事件发生的频率逐渐 稳定于某个常数在实践中人们还认识到大量 测量值的算术平均值也具有稳定性.这种稳定 性就是本节要讨论的大数定律的客观背景
4 在第一章提到过事件发生的频率具有稳定性, 即随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐 稳定于某个常数. 在实践中人们还认识到大量 测量值的算术平均值也具有稳定性. 这种稳定 性就是本节要讨论的大数定律的客观背景
定理一(契比雪夫定理的特殊情况)设随机变 量X1,X2,…,Xm,相互独立,且具有相同的数学 期望和方差:B(X)=D(X=a2(k=1,2,),作 前n个随机变量的算术平均 9 则对于任意正数E有 =1 lim Pix-uk8f n→0 n =imP∑Xk-<E}=1.(11) n→0 k=1
5 定理一(契比雪夫定理的特殊情况) 设随机变 量X1 ,X2 ,...,Xn ,...相互独立, 且具有相同的数学 期望和方差: E(Xk )=m, D(Xk )=s2 (k=1,2,...), 作 前n个随机变量的算术平均 , 1 1 = = n k Xk n X 1. (1.1) 1 lim lim {| | } 1 = = − − = → → m m n k k n n X n P P X 则对于任意正数, 有
证由于 E X k E(X)==nH={, k=1 =1 P\nk X 2 D(XN) n 由契比雪夫不等式可得 P Xk-1<E}≥1 =1 3
6 证 由于 , 1 ( ) 1 1 , 1 ( ) 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 n n n D X n X n D n n E X n X n E n k k n k k n k k n k k s s m m = = = = = = = = = = 2 2 1 / 1 1 s m n X n P n k k − − = 由契比雪夫不等式可得