亦即事件 {w(t)=k} 的概率为 () P(AN= e,k=0,1,2 ! 其中x>0是单位时间变号次数的数学期望.试 讨论X(的平稳性 解显然,E[X(=0.现在计算EX(X(计),先 设0,如果电流在(t内变号偶数次,则X( 和X(计必为同号且乘积为P;如果变号奇数 次,则乘积为-P2
17 亦即事件 Ak={N(t,t+t)=k} 的概率为 e , 0,1,2 , ! ( ) ( ) = - k = k P A k k t t 其中>0是单位时间变号次数的数学期望. 试 讨论X(t)的平稳性. 解 显然, E[X(t)]=0. 现在计算E[X(t)X(t+t)], 先 设t>0, 如果电流在(t,t+t)内变号偶数次, 则X(t) 和X(t+t)必为同号且乘积为I 2 ; 如果变号奇数 次, 则乘积为-I 2
因为事件 X()X(计+)=P} 的概率为P(4)+P(42)+P(4)+…,而事件 X()X(计+)=-P2} 的概率为P1)+P(43)+…,于是 E[X()X(+)=12∑P(42k)-12∑P(Ak-) k=0 k=0 12e-kry(r 2 2kT k=0 k 此结果与t关
18 因为事件 {X(t)X(t+t)=I 2} 的概率为P(A0 )+P(A2 )+P(A4 )+..., 而事件 {X(t)X(t+t)=-I 2} 的概率为P(A1 )+P(A3 )+..., 于是 e . ! ( ) e [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 1 2 0 2 2 t t t t k k k k k k k k I k I E X t X t I P A I P A - = - = - = = - = + = - 此结果与t无关
而若x<0时,只需令r=tv,则有 EIX(OX(+dl=EX(O)X(t'-ol=Feint. 故这一过程的相关函数为 Rx(d=EY()X(计)=Pe-2, 它只与关,因此随机电报信号是一平稳过 程
19 而若t<0时, 只需令t'=t+t, 则有 E[X(t)X(t+t)]=E[X(t')X(t'-t)]=I 2e 2t . 故这一过程的相关函数为 RX (t)=E[X(t)X(t+t)]=I 2e -2|t| , 它只与t有关, 因此随机电报信号是一平稳过 程. O t I 2 RX (t)
§2各态历经性
20 §2 各态历经性
如要按定义来计算平稳过程X()的数字特征, 就需要预先确定X(的一族样本函数或一维, 维分布函数,但这实际上是不易办到的事 实上,即使用统计实验的方法,例如可将均值 和自相关函数近似地表示为 N ∑x(t =1 N 和 Rx(2-≈、 N ∑x(1)x(2) 也需要对平稳过程进行大量观察,以获得很多 的样本函数xA(O,k=1,2,N
21 如要按定义来计算平稳过程X(t)的数字特征, 就需要预先确定X(t)的一族样本函数或一维, 二维分布函数, 但这实际上是不易办到的. 事 实上, 即使用统计实验的方法, 例如可将均值 和自相关函数近似地表示为 ( ) ( ), 1 ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 = = - N k X k k N k X k x t x t N R t t x t N 和 m 也需要对平稳过程进行大量观察, 以获得很多 的样本函数xk (t), k=1,2,...,N