又若平稳过程X的自相关函数 Rxt1,2)=EX(t1)Y(1)存在,对n=2,在(1,1)中, 令h=1,由平稳性定义,二维随机变量(X(t1), X(t2)与(X(0),XK(2-t1)同分布.于是有 Rx(t12)=E|X(t1)X(t2)=EX(0)X(t2-t1) 等式右端只与时间差2-t有关,记为Rx(t2-t1), 即有 RXtut2=Rxt2-tv (12) 或R(,计)=EX(0)X(+)=R() 这表明:平稳随机过程的自相关函数仅是时 间差2-t单变量函数
7 又若平稳过程X(t)的自相关函数 RX (t1 ,t2 )=E[X(t1 )X(t2 )]存在, 对n=2, 在(1.1)中, 令h=-t1 , 由平稳性定义, 二维随机变量(X(t1 ), X(t2 ))与(X(0),X(t2-t1 ))同分布. 于是有 RX (t1 ,t2 )=E[X(t1 )X(t2 )]=E[X(0)X(t2-t1 )]. 等式右端只与时间差t2-t1有关, 记为RX (t2-t1 ), 即有 RX (t1 ,t2 )=RX (t2-t1 ) (1.2) 或 RX (t,t+t)=E[X(t)X(t+t)]=RX (t). 这表明: 平稳随机过程的自相关函数仅是时 间差t2-t1=t的单变量函数
而协方差函数可以表示为 CXa=EIX(O-uxl[X(++iuxb=R(or-ux2 特别地,令z=0,由上式,有 x2=Cx(0)=Rx(0)-x2
8 而协方差函数可以表示为 CX (t)=E{[X(t)-mX ][X(t+t)-mX ]}=RX (t)-mX 2 . 特别地, 令t=0, 由上式, 有 sX 2=CX (0)=RX (0)-mX 2
如前所述,要确定一个随机过程的分布函数, 并进而判定其平稳性在实际中是不易办到的 因此,通常只在二阶矩过程范围内,考虑如下 类广义平稳过程 定义给定二阶矩过程{X(),t∈仍},如果对任意 t,计v∈T E[X(=(常数, EX()X(汁+)=Rx(可), 则称{X(,t∈T}为宽平稳过程或广义平稳过程 相对地,前述按分布函数定义的平稳过程称为 严平稳过程或狭义平稳过程
9 如前所述, 要确定一个随机过程的分布函数, 并进而判定其平稳性在实际中是不易办到的. 因此, 通常只在二阶矩过程范围内, 考虑如下 一类广义平稳过程. 定义 给定二阶矩过程{X(t), tT}, 如果对任意 t, t+tT E[X(t)]=mX (常数), E[X(t)X(t+t)=RX (t), 则称{X(t), tT}为宽平稳过程或广义平稳过程. 相对地, 前述按分布函数定义的平稳过程称为 严平稳过程或狭义平稳过程
由于宽平稳过程的定义只涉及与一维,二维分 布有关的数字特征,所以一个严平稳过程只要 二阶矩存在,则它必定也是宽平稳的但反过 来,一般是不成立的.不过有一个重要的例外 情形,即正态过程.因为正态过程的概率密度 是由均值函数和自相关函数完全确定的,因而 如果均值函数和自相关函数不随时间的推移 而变化,则概率密度也不随时间的推移而变化 由此一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳 的
10 由于宽平稳过程的定义只涉及与一维, 二维分 布有关的数字特征, 所以一个严平稳过程只要 二阶矩存在, 则它必定也是宽平稳的. 但反过 来,一般是不成立的. 不过有一个重要的例外 情形, 即正态过程. 因为正态过程的概率密度 是由均值函数和自相关函数完全确定的, 因而 如果均值函数和自相关函数不随时间的推移 而变化, 则概率密度也不随时间的推移而变化. 由此一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳 的
后面讲到平稳过程一词,除特别指明外,总是 指宽平稳过程 另外,当同时考虑两个平稳过程X()和Y时, 如果它们的互相关函数也只是时间差的单变 量函数,记为Rx(),即 Rxy(,计d)=E[X()Y(计+)=Rx(可),(1.3) 则就称X(0和Y()是平稳相关的,或称这两个 过程是联合(宽)平稳的
11 后面讲到平稳过程一词, 除特别指明外, 总是 指宽平稳过程. 另外, 当同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时, 如果它们的互相关函数也只是时间差的单变 量函数, 记为RXY(t), 即 RXY(t, t+t)=E[X(t)Y(t+t)]=RXY(t), (1.3) 则就称X(t)和Y(t)是平稳相关的, 或称这两个 过程是联合(宽)平稳的