67g3.3Riemann-Roch公式是线性同构，因此存在全纯微分，使得Jm^=Jmw^，i=1,2,，9.令w=w"-4，则w为满足引理要求的亚纯微分口注，不难看出，上述引理中的亚纯微分是惟一的现在,我们假设D=Zr=1ni'pi为紧致黎曼曲面M上的一个有效因子，ni>0,i=1,2,，m.根据刚才的引理，存在M上的亚纯微分T，P，，T，1≤i≤m使得在pi附近的坐标邻域B,内，=d(）+，其中n为B,内的全纯微分，且J=0=1,2.g1≤≤显然，...m是M上线性无关的亚纯微分，记它们张成的复向量空间为m(D)，则Tdimm(D) =n = d(D)i引理3.3.3.设D是如上所述的因子，m(D)如上定义.则(i) V f el(D), df Em(D)(i)设TEm(D),则T=df,fel(D)JMTΛ=0,i=1,2,..g证明.(i)设D=mnipi,fel(D),则vp(f)+n≥0,i=1,2,,m.根据的构造，存在入eC，使得f-k是M上无极点的亚纯微分，即i.kf-eH.又因为i.k(df-)=0,j=1,2,.,9JMi.k故f-Z=0即fespan(）=m(D)(i)“=”的部分在定义奇异积分时已经说明过.下面设Em(D),且JT^=0,i=1,2,，9.于是JMT^Φ=0,VeH.根据奇异积分的几个性质，存在亚口纯函数f,使得T=df.由m(D)的定义容易看出，el(D)根据这个引理我们知道，外微分算子d诱导了线性映射d：I(D）→m(D)，并且它的像d(1(D))在m(D)中满足g个线性约束条件，因此dim d(I(D)) ≥ dim m(D) - g.显然，Kerd=C.从而有dim (D) = dim Kerd + dim Imd ≥ 1 + d(D) - g这是Riemann所获得的不等式，它给出了diml(D）的一个下界估计为了得到进一步的Riemann-Roch公式，我们必须决定Imd的维数.为此，设(PTP，，P=是m(D)的如上构造的基.任取eH我们来计算JM
§3.3 Riemann-Roch 公式 67 是线性同构, 因此存在全纯微分 φ, 使得 ş M φ ^ ϕ¯ i “ ş M ω 1 ^ ϕ¯ i , i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , g. 令 ω “ ω 1 ´ φ, 则 ω 为满足引理要求的亚纯微分. 注. 不难看出, 上述引理中的亚纯微分 ω 是惟一的. 现在, 我们假设 D “ řm i“1 ni ¨pi 为紧致黎曼曲面 M 上的一个有效因子, ni ą 0, i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , m. 根据刚才的引理, 存在 M 上的亚纯微分 τ 1 pi , τ 2 pi , ¨ ¨ ¨ , τ ni pi , 1 ď i ď m, 使得在 pi 附近的坐标邻域 Bi 内, τ k pi “ dp 1 z k q ` η k i , 其中 η k i 为 Bi 内的全纯微分, 且 ş M τ k pi ^ ϕ¯ j “ 0, @ j “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , g, 1 ď k ď ni . 显然, tτ 1 pi , τ 2 pi , ¨ ¨ ¨ , τ ni pi u m i“1 是 M 上线性无关的亚纯微分, 记它们张成的复向量空间为 mpDq, 则 dim mpDq “ ÿm i“1 ni “ dpDq. 引理 3.3.3. 设 D 是如上所述的因子, mpDq 如上定义. 则 piq @ f P lpDq, df P mpDq; piiq 设 τ P mpDq, 则 τ “ df, f P lpDq ðñ ş M τ ^ ϕi “ 0, i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , g. 证明. piq 设 D “ řm i“1 ni ¨ pi , f P lpDq, 则 νpi pfq ` ni ě 0, i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , m. 根据 τ k pi 的构造, 存在 λ k i P C, 使得 df ´ ř i,k λ k i τ k pi 是 M 上无极点的亚纯微分, 即 df ´ ř i,k λ k i τ k pi P H. 又因为 ż M pdf ´ ÿ i,k λ k i τ k pi q ^ ϕ¯ j “ 0, j “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , g, 故 df ´ ř i,k λ k i τ k pi “ 0, 即 df P spantτ k pi u “ mpDq. piiq “ñ” 的部分在定义奇异积分时已经说明过. 下面设 τ P mpDq, 且 ş M τ^ϕi “ 0, i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , g. 于是 ş M τ ^ ϕ “ 0, @ ϕ P H1 . 根据奇异积分的几个性质, 存在亚 纯函数 f, 使得 τ “ df. 由 mpDq 的定义容易看出, f P lpDq. 根据这个引理我们知道, 外微分算子 d 诱导了线性映射 d : lpDq Ñ mpDq, 并 且它的像 dplpDqq 在 mpDq 中满足 g 个线性约束条件, 因此 dim dplpDqq ě dim mpDq ´ g. 显然, Kerd “ C, 从而有 dim lpDq “ dim Kerd ` dim Imd ě 1 ` dpDq ´ g. 这是 Riemann 所获得的不等式, 它给出了 dim lpDq 的一个下界估计. 为了得到进一步的 Riemann-Roch 公式, 我们必须决定 Imd 的维数. 为此, 设 tτ 1 pi , τ 2 pi , ¨ ¨ ¨ , τ ni pi u m i“1 是 mpDq 的如上构造的基. 任取 φ P H, 我们来计算 ş M τ k pi ^φ.
68第三章Riemann-Roch定理取pi附近的坐标邻域Bi，z为B:上的坐标函数，z2(pi)=0.根据的构造，存在M-(pi)上的光滑函数g，使得在pi附近g=+f,f为p附近的全纯函数，且在B；内h=dg.由奇异积分的定义，有成A0=(Tp)- dg)^JMA(TP-dg)^-JM-BdgApJM-BgpaBJaB,2ko如果在B内有局部展开=(az)dz则由上式得J - 2 -T.-, -1 ,.,.定义线性算子S:m(D) → HT→中.中2元V-1AJ31以及T:H→ m(D)220-6J1k=1其中，是在pi的坐标邻域B，中展开的系数 aiz)dz0=0我们有如下结果引理3.3.4.设线性映射S，T定义如上，则(i) KerS = Imd;(ii) KerT = i(D);(i) dim ImS = dim ImT
68 第三章 Riemann-Roch 定理 取 pi 附近的坐标邻域 Bi , z 为 Bi 上的坐标函数, zppiq “ 0. 根据 τ k pi 的构造, 存在 M ´ tpiu 上的光滑函数 g, 使得在 pi 附近 g “ 1 z k ` f, f 为 p 附近的全纯函数, 且 在 Bi 内 τ k pi “ dg. 由奇异积分的定义, 有 ż M τ k pi ^ φ “ ż M pτ k pi ´ dgq ^ φ “ ż M´Bi pτ k pi ´ dgq ^ φ “ ´ ż M´Bi dg ^ φ “ ż BBi gφ “ ż BBi 1 z k φ. 如果在 Bi 内 φ 有局部展开 φ “ př j aj z j qdz, 则由上式得 ż M τ k pi ^ φ “ 2π ? ´1 ¨ ak´1, k “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , ni . 定义线性算子 S : mpDq Ñ H τ ÞÑ 1 2π ? ´1 ÿg j“1 p ż M τ ^ ϕj q ¨ ϕj . 以及 T : H Ñ mpDq φ ÞÑ ÿm i“1 ÿni k“1 a i k´1 ¨ τ k pi . 其中, a i k 是 φ 在 pi 的坐标邻域 Bi 中展开的系数: φ “ pÿ k a i k z k qdz. 我们有如下结果 引理 3.3.4. 设线性映射 S, T 定义如上, 则 piq KerS “ Imd; piiq KerT “ ipDq; piiiq dim ImS “ dim ImT
g3.3Riemann-Roch公式69证明.(i)TEKerSJMT^Φj=0,j=1,2,...,gTEImd.(i) 回忆 i(D) 的定义: (D)= (w I(w)- D ≥O). 因此, w E i(D) 一 w E H, 且如果在pi附近w=(azk)dz,则=0,k≤ni-1.一weKerT.(ii)我们在m(D)的基()和H的基(Φj)下分别计算线性算子 S,T的矩阵表示.在B；内，；有局部展开Φj=(Eajkzk)dz.K因此有S(T)=2元V-1A@ioia(k-1)pjj=1FT(Φ;) =j(k-1)Tpl台台从而在这两组基下，线性映射S,T的矩阵互为转置，特别地，dimImS=dimImT口有了上面这些准备，我们现在可以给出Riemann-Roch公式的证明了，分几种情况考虑(1)D为有效因子.如果 D =0,则显然 I(D)=C,(D)=H,从而diml(D) =1 = dimi(D) + (1- g)如果D≥0,且d(D)>0,则由刚才的引理,有dimI(D) = dim Kerd + dim Imd=1+dimKers= 1 + (dim m(D) - dim ImS)= 1 + d(D) - dim ImT= 1 + d(D) - (dimH - dim KerT= 1 + d(D) - (g - dimi(D)= dim i(D) + d(D) + (1 - g)这说明Riemann-Roch公式对有效因子成立推论3.3.5.设K为M上的典范因子，则d(K)=2g-2.特别地，亏格为1的曲面上存在处处非零的全纯微分证明.如果g=0,则M与黎曼球面S同构（习题).取w=dz，z为C上的复坐标.则K=()=-200,因此d(K)=-2=2g-2
§3.3 Riemann-Roch 公式 69 证明. piq τ P KerS ðñ ş M τ ^ ϕj “ 0, j “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , g ô τ P Imd. piiq 回忆 ipDq 的定义: ipDq “ tω | pωq ´ D ě 0u. 因此, ω P ipDq ðñ ω P H, 且 如果在 pi 附近 ω “ př k a i k z k qdz, 则 a i k “ 0, k ď ni ´ 1. ðñ ω P KerT. piiiq 我们在 mpDq 的基 tτ k pi u 和 H 的基 tϕj u 下分别计算线性算子 S, T 的矩 阵表示. 在 Bi 内, ϕj 有局部展开 ϕj “ pÿ k a i jkz k qdz. 因此有 Spτ k pi q “ 1 2π ? ´1 ÿg j“1 p ż M τ k pi ^ ϕj qϕj “ ÿg j“1 a i jpk´1qϕj , Tpϕj q “ ÿm i“1 ÿni k“1 a i jpk´1q τ k pi . 从而在这两组基下, 线性映射 S, T 的矩阵互为转置, 特别地, dim ImS “ dim ImT. 有了上面这些准备, 我们现在可以给出 Riemann-Roch 公式的证明了. 分几种 情况考虑. p1q D 为有效因子. 如果 D “ 0, 则显然 lpDq “ C, ipDq “ H, 从而 dim lpDq “ 1 “ dim ipDq ` p1 ´ gq. 如果 D ě 0, 且 dpDq ą 0, 则由刚才的引理, 有 dim lpDq “ dim Kerd ` dim Imd “ 1 ` dim KerS “ 1 ` pdim mpDq ´ dim ImSq “ 1 ` dpDq ´ dim ImT “ 1 ` dpDq ´ pdim H ´ dim KerTq “ 1 ` dpDq ´ pg ´ dim ipDqq “ dim ipDq ` dpDq ` p1 ´ gq. 这说明 Riemann-Roch 公式对有效因子成立. 推论 3.3.5. 设 K 为 M 上的典范因子, 则 dpKq “ 2g ´ 2. 特别地, 亏格为 1 的曲面上存在处处非零的全纯微分. 证明. 如果 g “ 0, 则 M 与黎曼球面 S 同构 (习题). 取 ω “ dz, z 为 C 上的复 坐标. 则 K “ pωq “ ´28, 因此 dpKq “ ´2 “ 2g ´ 2.
70第三章Riemann-Roch定理如果g≥1,则存在非零全纯微分wEH.此时K=(w)≥0.并且I(K)=i(0) =H,i(K) =I(0) = C.因此有g = dimH = diml(K) = dimi(K) + d(K) + (1 - g) =1 + d(K) + (1 - g)口这说明d(K)=2g-2.我们继续证明Riemann-R.och公式.(2)K-D为有效因子.这时,由(1),有diml(K - D) = dimi(K - D) + d(K -D) + (1 - g)用 diml(K-D)= dimi(D),dimi(K-D)=diml(D)以及 d(K)=2g-2代入上式即得dim (D) = dim i(D) + d(D) + (1 - g).(3)最后,设 D是M 上的一个一般的因子.如果1(D)≠(0),则存在fo e 1(D),使得（fo）+D≥0.令Do=（fo）+D,则Do为有效因子，从而Riemann-Roch公式对Do成立，因此Riemann-Roch公式对因子D也成立；如果(D)≠(0)，则存在 wo Ei(D),使得(wo)-D≥0. 令D"=(wo)-D,则 D为有效因子,根据(2),Riemann-Roch公式对因子D也成立；最后我们假设1(D)=(D)=(0)，我们要证明此时必有d(D)=g-1.事实上，把D写成D=Di-D2,其中D1,D,为有效因子，D1，D2无公共点.根据本章第一节的习题，有dim (DI) ≤ dim l(Di - D2) + d(D2) = d(D2),对有效因子D用Riemann-Roch公式，有d(D2) ≥ dimi(Di) +d(D1) + (1 - g) ≥d(D1) + (1 - g)这就得到下面的估计d(D) = d(Di) - d(D2) ≤ g - 1.另一方面，对于因子K-D也有这个估计，即d(K -D)≤ g-1从而d(D) ≥ d(K) - (g - 1) = 2g -2 - (g - 1) = g -1
70 第三章 Riemann-Roch 定理 如果 g ě 1, 则存在非零全纯微分 ω P H. 此时 K “ pωq ě 0. 并且 lpKq – ip0q “ H, ipKq – lp0q “ C. 因此有 g “ dim H “ dim lpKq “ dim ipKq ` dpKq ` p1 ´ gq “ 1 ` dpKq ` p1 ´ gq. 这说明 dpKq “ 2g ´ 2. 我们继续证明 Riemann-Roch 公式. p2q K ´ D 为有效因子. 这时, 由 p1q, 有 dim lpK ´ Dq “ dim ipK ´ Dq ` dpK ´ Dq ` p1 ´ gq. 用 dim lpK ´ Dq “ dim ipDq, dim ipK ´ Dq “ dim lpDq 以及 dpKq “ 2g ´ 2 代入上 式即得 dim lpDq “ dim ipDq ` dpDq ` p1 ´ gq. p3q 最后, 设 D 是 M 上的一个一般的因子. 如果 lpDq ‰ t0u, 则存在 f0 P lpDq, 使得 pf0q ` D ě 0. 令 D0 “ pf0q ` D, 则 D0 为有效因子, 从而 Riemann-Roch 公 式对 D0 成立, 因此 Riemann-Roch 公式对因子 D 也成立; 如果 ipDq ‰ t0u, 则存 在 ω0 P ipDq, 使得 pω0q ´ D ě 0. 令 D1 “ pω0q ´ D, 则 D1 为有效因子, 根据 p2q, Riemann-Roch 公式对因子 D 也成立; 最后我们假设 lpDq “ ipDq “ t0u, 我们要证 明此时必有 dpDq “ g ´ 1. 事实上, 把 D 写成 D “ D1 ´ D2, 其中 D1, D2 为有效 因子, D1, D2 无公共点. 根据本章第一节的习题, 有 dim lpD1q ď dim lpD1 ´ D2q ` dpD2q “ dpD2q, 对有效因子 D1 用 Riemann-Roch 公式, 有 dpD2q ě dim ipD1q ` dpD1q ` p1 ´ gq ě dpD1q ` p1 ´ gq, 这就得到下面的估计 dpDq “ dpD1q ´ dpD2q ď g ´ 1. 另一方面, 对于因子 K ´ D 也有这个估计, 即 dpK ´ Dq ď g ´ 1 从而 dpDq ě dpKq ´ pg ´ 1q “ 2g ´ 2 ´ pg ´ 1q “ g ´ 1.
7183.4若干应用口这说明d(D)=g-1,因而Riemann-Roch公式对D也成立习题3.31.设w为黎曼球面s上的亚纯微分，则w=dg，g为亚纯函数当且仅当w的留数均为零2.用Riemann不等式证明任何紧致黎曼曲面上均存在非平凡亚纯函数3.用Riemann不等式证明亏格为零的紧致黎曼曲面必定全纯同构于黎曼球面S4.证明,对于任意因子D,如果d(D)≥-1,则有dimI(D)≤1+d(D)5.证明，如果因子D的次数不小于亏格9，则D线性等价于一个有效因子$3.4若干应用本节我们给出Riemann-Roch公式的一些具体的应用(1) Bergman 度量定理3.4.1.设M为紧致黎曼曲面，亏格g>0.则任给PEM，存在全纯微分w,使得w(p)≠0.证明.用反证法.假设不然，则存在pEM,使得w(p)=0,VwEH.此时Hci(p)=(w|(w)-p≥O)cH,从而H=i(p).由Riemann-Roch公式dim l(p) = dim i(p) + d(p) + (1 - g)= dim H + d(p) + (1 - 9) = g + 1 + (1 - 9) = 2.口这说明M与S同构，特别地，M亏格为0.这和假设相矛盾.根据这个定理，如果g≥1,设Φ1,Φ2,…，Φg)为H的一组标准正交基，令G==1d;?Φi，则G为M上非退化的Hermite度量（参见第五章）.容易看出，G和标准正交基的选取无关，称为Bergman度量.特别地，如果g=1,则Bergman度量为平坦度量，从而M的万有复选空间同构于C.这就说明，亏格为1的紧致繁曼曲面必和某个黎曼环面CA同构.关于度量及相关的曲面的儿何性质，我们将在本书第五章中详细讨论.(2）亚纯函数的丰富性
§3.4 若干应用 71 这说明 dpDq “ g ´ 1, 因而 Riemann-Roch 公式对 D 也成立. 习题 3.3 1. 设 ω 为黎曼球面 S 上的亚纯微分, 则 ω “ dg, g 为亚纯函数当且仅当 ω 的留 数均为零. 2. 用 Riemann 不等式证明任何紧致黎曼曲面上均存在非平凡亚纯函数. 3. 用 Riemann 不等式证明亏格为零的紧致黎曼曲面必定全纯同构于黎曼球面 S. 4. 证明, 对于任意因子 D, 如果 dpDq ě ´1, 则有 dim lpDq ď 1 ` dpDq. 5. 证明, 如果因子 D 的次数不小于亏格 g, 则 D 线性等价于一个有效因子. §3.4 若干应用 本节我们给出 Riemann-Roch 公式的一些具体的应用. (1) Bergman 度量 定理 3.4.1. 设 M 为紧致黎曼曲面, 亏格 g ą 0. 则任给 p P M, 存在全纯微 分 ω, 使得 ωppq ‰ 0. 证明. 用反证法. 假设不然, 则存在 p P M, 使得 ωppq “ 0, @ ω P H. 此时 H Ă ippq “ tω | pωq ´ p ě 0u Ă H, 从而 H “ ippq. 由 Riemann-Roch 公式, dim lppq “ dim ippq ` dppq ` p1 ´ gq “ dim H ` dppq ` p1 ´ gq “ g ` 1 ` p1 ´ gq “ 2. 这说明 M 与 S 同构, 特别地, M 亏格为 0. 这和假设相矛盾. 根据这个定理, 如果 g ě 1, 设 tϕ1, ϕ2, ¨ ¨ ¨ , ϕgu 为 H 的一组标准正交基, 令 G “ řg i“1 ϕi b ϕ¯ i , 则 G 为 M 上非退化的 Hermite 度量 (参见第五章). 容易看出, G 和标准正交基的选取无关, 称为 Bergman 度量. 特别地, 如果 g “ 1, 则 Bergman 度量为平坦度量, 从而 M 的万有复迭空间同构于 C. 这就说明, 亏格为 1 的紧致 黎曼曲面必和某个黎曼环面 C{Λ 同构. 关于度量及相关的曲面的几何性质, 我们 将在本书第五章中详细讨论. (2) 亚纯函数的丰富性