72第三章Riemann-Roch定理定理3.4.2.设M为紧致黎曼曲面，D为M上的因子.则(i) 当 d(D) ≥ 2g -1 时, dim i(D) = d(D) + (1 - g);(i)当d(D)=g+n,n>0时,diml(D)≥1+n.g=0时等号成立证明.()当 d(D)≥2g-1时,d(K-D)=d(K)-d(D)=2g-2-d(D)<0从而（D)=l(K-D)=(O).由Riemann-Roch公式,diml(D) = dimi(D) + d(D) + (1 - g) = d(D) + (1 - g)(i)当d(D)=g+n,n>0时，由Riemann-Roch公式diml(D) = dimi(D) + d(D) + (1 - g)≥ d(D) + (1 - 9)=g+n+(1-g)=1+n口当 g=0时,由 (i)知, diml(D)= d(D) + (1 -g)=g + n+(1-g)=1+ n.这个定理告诉我们，紧致黎曼曲面上的亚纯函数是非常多的．特别地，我们有如下推论推论3.4.3.设M为紧致黎曼曲面.则(1)任给peM,存在亚纯函数f,使得f以p为惟一极点，且重数≤g+1;(2)任给pEM,存在亚纯函数f,使得f以p为惟一零点，且重数≤9+1;(3)任给p≠qEM,存在亚纯函数f,使得f(p)≠f(g);(4)任给pEM,存在亚纯函数f,使得f(p)=0,且p为单零点；(5)当g>1时，存在亚纯函数f，使得的分歧覆盖叶数≤9.证明.(1)令D=(g+1)p,则由刚才定理中的(i)知,diml(D)≥2.因此,I(D)中存在非常值亚纯函数f，f即为所求(2)对于（1)中的亚纯函数f，1就是满足(2)的要求的亚纯函数(3)对于pEM,设f是(1)中得到的亚纯函数,则f(p)=c0eS,f(g)eC.(4)任取q±p,令D=(2g+1)q-p,则d(D)=2g,d(D-p)=2g-1.显然, I(D -p) c l(D).根据刚才定理中的(i)知,diml(D)=d(D)+(1 -g)=g + 1,diml(D-p)=d(D-p)+(1-g)=g,从而存在fel(D),f$ l(D-p).这就说明f以p为单零点.(5)取M上的全纯微分w,则K=(w)≥0,且d(K)=2g-2>0.令K = Di + D2, Di ≥0, D2 ≥ 0 且 d(Di) = g, d(D2) = g - 2 ≥ 0. 由 Riemann-Roch公式,有dim l(Di) = dim l(K - Di) + d(Di) + (1 - g)= dim l(D2) + g + (1 - g)≥ 1 + g + (1 - g) = 2
72 第三章 Riemann-Roch 定理 定理 3.4.2. 设 M 为紧致黎曼曲面, D 为 M 上的因子. 则 piq 当 dpDq ě 2g ´ 1 时, dim lpDq “ dpDq ` p1 ´ gq; piiq 当 dpDq “ g ` n, n ą 0 时, dim lpDq ě 1 ` n. g “ 0 时等号成立. 证明. piq 当 dpDq ě 2g ´ 1 时, dpK ´ Dq “ dpKq ´ dpDq “ 2g ´ 2 ´ dpDq ă 0, 从而 ipDq – lpK ´ Dq “ t0u. 由 Riemann-Roch 公式, dim lpDq “ dim ipDq ` dpDq ` p1 ´ gq “ dpDq ` p1 ´ gq. piiq 当 dpDq “ g ` n, n ą 0 时, 由 Riemann-Roch 公式, dim lpDq “ dim ipDq ` dpDq ` p1 ´ gq ě dpDq ` p1 ´ gq “ g ` n ` p1 ´ gq “ 1 ` n. 当 g “ 0 时, 由 piq 知, dim lpDq “ dpDq ` p1 ´ gq “ g ` n ` p1 ´ gq “ 1 ` n. 这个定理告诉我们, 紧致黎曼曲面上的亚纯函数是非常多的. 特别地, 我们有 如下推论 推论 3.4.3. 设 M 为紧致黎曼曲面. 则 p1q 任给 p P M, 存在亚纯函数 f, 使得 f 以 p 为惟一极点, 且重数 ď g ` 1; p2q 任给 p P M, 存在亚纯函数 f, 使得 f 以 p 为惟一零点, 且重数 ď g ` 1; p3q 任给 p ‰ q P M, 存在亚纯函数 f, 使得 fppq ‰ fpqq; p4q 任给 p P M, 存在亚纯函数 f, 使得 fppq “ 0, 且 p 为单零点; p5q 当 g ą 1 时, 存在亚纯函数 f, 使得 f 的分歧覆盖叶数 ď g. 证明. p1q 令 D “ pg ` 1qp, 则由刚才定理中的 piiq 知, dim lpDq ě 2. 因此, lpDq 中存在非常值亚纯函数 f, f 即为所求. p2q 对于 p1q 中的亚纯函数 f, 1 f 就是满足 p2q 的要求的亚纯函数. p3q 对于 p P M, 设 f 是 p1q 中得到的亚纯函数, 则 fppq “ 8 P S, fpqq P C. p4q 任取 q ‰ p, 令 D “ p2g ` 1qq ´ p, 则 dpDq “ 2g, dpD ´ pq “ 2g ´ 1. 显 然, lpD ´ pq Ă lpDq. 根据刚才定理中的 piq 知, dim lpDq “ dpDq ` p1 ´ gq “ g ` 1, dim lpD ´ pq “ dpD ´ pq ` p1 ´ gq “ g, 从而存在 f P lpDq, f R lpD ´ pq. 这就说明 f 以 p 为单零点. p5q 取 M 上的全纯微分 ω, 则 K “ pωq ě 0, 且 dpKq “ 2g ´ 2 ą 0. 令 K “ D1 ` D2, D1 ě 0, D2 ě 0 且 dpD1q “ g, dpD2q “ g ´ 2 ě 0. 由 Riemann-Roch 公式, 有 dim lpD1q “ dim lpK ´ D1q ` dpD1q ` p1 ´ gq “ dim lpD2q ` g ` p1 ´ gq ě 1 ` g ` p1 ´ gq “ 2.
7383.4若干应用口因此，1(D1）中存在非常值的亚纯函数f，于即为所求(3）亚纯函数域定义3.4.1.设K为复系数域.如果存在zEK，使得z对于C是超越元素，且[K：C(z)]<c0，则称K为一元代数函数域设M为紧致黎曼曲面，fem(M）为非常值亚纯函数，则对于C显然是超越元素.我们有定理3.4.4.设M为紧致黎受曲面，则m(M）为一元代数函数域.进一步，如果z为M上有n个极点的亚纯函数，则[m(M) : C(z)] = n.我们分别证明[3m(M):C(z)]≤n及[3m(M):C(z)]≥n.设(2)=Z,-Pz,其中Z,表示z的零点集,P,表示极点集令A=(dz的零点),取aES-(2(A),0),则z-a只有单零点，(z-a)-1只有单极点.由于C(z)=C(a),必要时用(z-a)-1取代z,我们可以假设P，=Pi+P2+.…+Pn由n个不同的点组成引理3.4.5.[m(M):C(z)]≤n证明.设w1,2,."wmEm(M)，且它们对C(z)线性无关.下面证明m≤n.无妨设w;)的极点均在(P1,P2，，Pn）之内：不然的话，设（q1,92…，9。）是(wi)=1的在(p1,p2,.…,Pn)之外的所有极点．令aj=z(qi),j=1,2,…·,s.又令u=(z-a1)(z-a2)...(z-ag),则ww1,w2,,ww的极点都在(p1,P2,,pn)之内，并且uw1,uw2，..，uw。对C(z）仍然线性无关现在考虑（r+1)m个亚纯函数z.wi,i=1,2,m，j=0,1,,r.取充分大的k，使得zj.wiel(k+r)Pa),Vi,j.可以选取得与r无关.当k充分大时，由(2)中的定理，有diml(k +r)P) = (k +r)n + (1 - g)注意到(2wi)为1((+r)P.）复线性无关的函数，从而有(r+1)m≤(k+r)n+(1-g)这就得到下面的估计特+m≤T+1"r+l口在上式中令r→0,就得m≤n
§3.4 若干应用 73 因此, lpD1q 中存在非常值的亚纯函数 f, f 即为所求. (3) 亚纯函数域 定义 3.4.1. 设 K 为复系数域. 如果存在 z P K, 使得 z 对于 C 是超越元素, 且 rK : Cpzqs ă 8, 则称 K 为一元代数函数域. 设 M 为紧致黎曼曲面, f P MpMq 为非常值亚纯函数, 则 f 对于 C 显然是超 越元素. 我们有 定理 3.4.4. 设 M 为紧致黎曼曲面, 则 MpMq 为一元代数函数域. 进一步, 如 果 z 为 M 上有 n 个极点的亚纯函数, 则 rMpMq : Cpzqs “ n. 我们分别证明 rMpMq : Cpzqs ď n 及 rMpMq : Cpzqs ě n. 设 pzq “ Zz ´ Pz, 其 中 Zz 表示 z 的零点集, Pz 表示极点集. 令 A “ tdz 的零点u, 取 a P S ´ tzpAq, 8u, 则 z´a 只有单零点, pz´aq ´1 只有单极点. 由于 Cpzq “ Cp 1 z´a q, 必要时用 pz´aq ´1 取代 z, 我们可以假设 Pz “ p1 ` p2 ` ¨ ¨ ¨ ` pn 由 n 个不同的点组成. 引理 3.4.5. rMpMq : Cpzqs ď n. 证明. 设 ω1, ω2, ¨ ¨ ¨ , ωm P MpMq, 且它们对 Cpzq 线性无关. 下面证明 m ď n. 无妨设 tωiu m i“1 的极点均在 tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pnu 之内: 不然的话, 设 tq1, q2, ¨ ¨ ¨ , qsu 是 tωiu m i“1 的在 tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pnu 之外的所有极点. 令 aj “ zpqj q, j “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , s. 又令 u “ pz ´ a1qpz ´ a2q ¨ ¨ ¨ pz ´ asq, 则 uω1, uω2, ¨ ¨ ¨ , uωs 的极点都在 tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pnu 之 内, 并且 uω1, uω2, ¨ ¨ ¨ , uωs 对 Cpzq 仍然线性无关. 现在考虑 pr ` 1qm 个亚纯函数 z j ¨ ωi , i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , m, j “ 0, 1, ¨ ¨ ¨ , r. 取充分 大的 k, 使得 z j ¨ ωi P lppk ` rqPzq, @ i, j. k 可以选取得与 r 无关. 当 k 充分大时, 由 (2) 中的定理, 有 dim lppk ` rqPzq “ pk ` rqn ` p1 ´ gq. 注意到 tz jωiu 为 lppk ` rqPzq 复线性无关的函数, 从而有 pr ` 1qm ď pk ` rqn ` p1 ´ gq. 这就得到下面的估计 m ď k ` r r ` 1 n ` 1 ´ g r ` 1 . 在上式中令 r Ñ 8, 就得 m ď n.
74第三章Riemann-Roch定理引理3.4.6.[(M):C(z)]≥n证明.如同上一个引理那样，可以假设z的极点均为单极点。取qeM-(p1,P2,…，Pn）以及k≥2g-1+n.由(2)中的定理，有diml(kq- (pi + p2 +..+ Pi-1)) =1 + dim (kq - (pi + p2 + .. + pi), 1≤i≤ n.因此存在wie 1(kq-(p1+p2+…+Pi-1)-I(kq-(p1+p2++p),wi满足wi(p1) = wi(p2) = ... = wi(pi-1), w;(pi) e C*我们证明wi,w2,··wn对于域C(z）=C(）线性无关.（反证法）假设不然，则存在 EC(),使得(3.1)设β是α1,Q2,·…，αn的分母的最小公倍数.令=βα，则"l<i<n.wi=0,%C[H设d是1，2，，m的最大公因子，用乘以上式，将系数/d仍记为αi.此时aiEC[]，且Qi无非平凡公共因子.因此，αi中至少有一个具有非零常数项.故存在r≤n，使得α1,a2,，αr-1的常数项为零，而αr的常数项非零.在点pr上，因为为零，故Q1(pr) = Q2(pr) = ... = Qr-1(pr) = 0.而由wi的取法知Wr+1(Pr) = Wr+2(Pr) = .. = Wn(Pr) = 0代入(3.1)式，得a,(p.)-w-(pr) = 0.口这和αr(p）0,w(pr）0相矛盾！以上两个引理结合起来就得证明了紧致黎曼曲面的亚纯函数域是一个一元代数函数域.以黎曼球面S为例，取z为C上标准复坐标，把它看成S上的亚纯函数，根据上面的证明就有[(S) : C(2)] = 1,即9mt(S）=C(z)，这是我们在第2章第3节证明过的结论.下面考虑黎曼环面C/A任取pEC/A,由（2)中的定理，有dim l(2p) = d(2p) + (1 - g) = 2
74 第三章 Riemann-Roch 定理 引理 3.4.6. rMpMq : Cpzqs ě n. 证明. 如同上一个引理那样, 可以假设 z 的极点均为单极点. 取 q P M ´ tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pnu 以及 k ě 2g ´ 1 ` n. 由 (2) 中的定理, 有 dim lpkq ´ pp1 ` p2 ` ¨ ¨ ¨ ` pi´1qq “ 1 ` dim lpkq ´ pp1 ` p2 ` ¨ ¨ ¨ ` piqq, 1 ď i ď n. 因此存在 ωi P lpkq ´ pp1 ` p2 ` ¨ ¨ ¨ ` pi´1qq ´ lpkq ´ pp1 ` p2 ` ¨ ¨ ¨ ` piqq, ωi 满足 ωipp1q “ ωipp2q “ ¨ ¨ ¨ “ ωippi´1q, ωippiq P C ˚ . 我们证明 ω1, ω2, ¨ ¨ ¨ , ωn 对于域 Cpzq “ Cp 1 z q 线性无关. (反证法) 假设不然, 则存 在 αi P Cp 1 z q, 使得 ÿn i“1 αiωi “ 0. (3.1) 设 β 是 α1, α2, ¨ ¨ ¨ , αn 的分母的最小公倍数. 令 γi “ βαi , 则 ÿn i“1 γiωi “ 0, γi P Cr 1 z s, 1 ď i ď n. 设 d 是 γ1, γ2, ¨ ¨ ¨ , γn 的最大公因子, 用 1 d 乘以上式, 将系数 γi{d 仍记为 αi . 此时 αi P Cr 1 z s, 且 αi 无非平凡公共因子. 因此, αi 中至少有一个具有非零常数项. 故 存在 r ď n, 使得 α1, α2, ¨ ¨ ¨ , αr´1 的常数项为零, 而 αr 的常数项非零. 在点 pr 上, 因为 1 z 为零, 故 α1pprq “ α2pprq “ ¨ ¨ ¨ “ αr´1pprq “ 0. 而由 ωi 的取法知 ωr`1pprq “ ωr`2pprq “ ¨ ¨ ¨ “ ωnpprq “ 0. 代入 (3.1) 式, 得 αrpprq ¨ ωrpprq “ 0. 这和 αrpprq ‰ 0, ωrpprq ‰ 0 相矛盾! 以上两个引理结合起来就得证明了紧致黎曼曲面的亚纯函数域是一个一元代 数函数域. 以黎曼球面 S 为例, 取 z 为 C 上标准复坐标, 把它看成 S 上的亚纯函 数, 根据上面的证明就有 rMpSq : Cpzqs “ 1, 即 MpSq “ Cpzq, 这是我们在第 2 章第 3 节证明过的结论. 下面考虑黎曼环面 C{Λ. 任取 p P C{Λ, 由 (2) 中的定理, 有 dim lp2pq “ dp2pq ` p1 ´ gq “ 2.
83.4若干应用75因此I(2p)中存在非常值的亚纯函数于,以p为惟一极点，且重数≤2.因为重数不可能为1（否则曲面必为黎曼球面），故f以p为双极点.因此[m(C/A) : C(f)] = 2.下面我们用另一个办法将本小节的主要结果加以推广，这个推广涉及初等对称函数的构造.设z：M→N为紧致黎曼曲面之间的非常值全纯映射，因此z为分歧覆盖，其重数记为n.设f为M上的亚纯函数，我们构造N上n个亚纯函数c(f),i=1,，n如下：设qeN不是z的分歧值，取其开邻域V,使得2-1(V)=UiUU2U...UUn.其中U,为M中互不相交的开集，且z:U,→V为全纯同构，令fi=fo(zlu)-1,fi为V上亚纯函数.考虑关于变量的n次多项式(r - fi) = r" + C1a"-1 +. + Cn,i=i其系数ci=c(f)是关于fi的初等对称多项式.不难看出，c,的定义与邻域V的选取无关，且可延拓为N上的亚纯函数任给gEm(N)，复合函数2g=goz为M上亚纯函数.因此，z*m(N)可以看成m(M)的子域.根据上面的构造，对任意feMm(M)，有fn +(2*c1)fn-1 +*. +(2*cn-1)f + 2*cn = 0.这说明m（M）是z*m（N）的代数扩张，且扩张次数不超过n.另一方面，设q不是z的分歧值，则z-1(g)=(P1,P2,，Pn）由n个互不相同的点组成.我们可以取M上的一个亚纯函数f使得f(pi）互不相同（参见（6)中的引理），则f关于z*m（N）的极小多项式的次数必定不小于n.总之，我们得到下面的定理：定理3.4.7.设z：M→N为紧致黎曼曲面之间的非常值全纯映射，z的重数为n，则[m(M) : 2*(N)] = n.显然，当N=S时，2*9(N)=C(2)，因此这个结果是前面定理的推广，下面我们来说明亚纯函数域完全决定了黎曼曲面本身定义3.4.2（赋值).设K为域，K*=K-(0)为K中非零元素组成的乘法群，如果群同态U:K*→Z
§3.4 若干应用 75 因此 lp2pq 中存在非常值的亚纯函数 f, f 以 p 为惟一极点, 且重数 ď 2. 因为重数 不可能为 1 (否则曲面必为黎曼球面), 故 f 以 p 为双极点. 因此 rMpC{Λq : Cpfqs “ 2. 下面我们用另一个办法将本小节的主要结果加以推广, 这个推广涉及初等对称 函数的构造. 设 z : M Ñ N 为紧致黎曼曲面之间的非常值全纯映射, 因此 z 为分 歧覆盖, 其重数记为 n. 设 f 为 M 上的亚纯函数, 我们构造 N 上 n 个亚纯函数 cipfq, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , n 如下: 设 q P N 不是 z 的分歧值, 取其开邻域 V , 使得 z ´1 pV q “ U1 Y U2 Y ¨ ¨ ¨ Y Un, 其中 Ui 为 M 中互不相交的开集, 且 z : Ui Ñ V 为全纯同构, 令 fi “ f ˝ pz|Ui q ´1 , fi 为 V 上亚纯函数. 考虑关于变量 x 的 n 次多项式 źn i“1 px ´ fiq “ x n ` c1x n´1 ` ¨ ¨ ¨ ` cn, 其系数 ci “ cipfq 是关于 fi 的初等对称多项式. 不难看出, ci 的定义与邻域 V 的 选取无关, 且可延拓为 N 上的亚纯函数. 任给 g P MpNq, 复合函数 z ˚g “ g ˝ z 为 M 上亚纯函数. 因此, z ˚MpNq 可以 看成 MpMq 的子域. 根据上面的构造, 对任意 f P MpMq, 有 f n ` pz ˚ c1qf n´1 ` ¨ ¨ ¨ ` pz ˚ cn´1qf ` z ˚ cn “ 0. 这说明 MpMq 是 z ˚MpNq 的代数扩张, 且扩张次数不超过 n. 另一方面, 设 q 不是 z 的分歧值, 则 z ´1 pqq “ tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pnu 由 n 个互不相同 的点组成. 我们可以取 M 上的一个亚纯函数 f, 使得 fppiq 互不相同 (参见 (6) 中 的引理), 则 f 关于 z ˚MpNq 的极小多项式的次数必定不小于 n. 总之, 我们得到下 面的定理: 定理 3.4.7. 设 z : M Ñ N 为紧致黎曼曲面之间的非常值全纯映射, z 的重数 为 n, 则 rMpMq : z ˚MpNqs “ n. 显然, 当 N “ S 时, z ˚MpNq “ Cpzq, 因此这个结果是前面定理的推广. 下面 我们来说明亚纯函数域完全决定了黎曼曲面本身. 定义 3.4.2 (赋值). 设 K 为域, K˚ “ K ´ t0u 为 K 中非零元素组成的乘法 群. 如果群同态 v : K˚ Ñ Z
76第三章Riemann-Roch定理是满同态，且v(f +g)≥min(u(f),u(g)),Vf, geK*则称为K上的一个（离散）赋值通常，我们规定u(0)=+o0.显然，如果p为M上一点，则先前对于亚纯函数定义的赋值Vp就是M的亚纯函数域上的一个赋值.赋值具有如下性质： v(1) = 0, v(-1) = 0, v(f) = v(-f);.当(f)±(g)时v(f+g)=min(u(f),v(g)).事实上,不妨设(f)<(g),则v(f)=u(f+g-9)≥minu(f+g),(-g))≥ min(min(v(f),v(g)), (g))= min(u(f), v(g)) = v(f)因此上述不等号均为等号.特别地，u(f) = min(u(f + g), v(g) = v(f +g)·如果CCK，则v(c)=0,VcEC*这可从等式(c)=n·(cl/n）推出，因为若u(c)±0,则(cl/n）≠0,令n→0可导出矛盾下面我们来刻画亚纯函数域上的赋值.命题3.4.8.设M为紧致黎曼曲面，为亚纯函数域m(M)上的赋值，则存在（惟一）的pEM,使得u=Vp.证明.取亚纯函数h，使得(h）=1，显然h不是常值函数.由赋值映射的性质，如果aeC*，则u(h-a)=0.因此如果r为有理函数，则(r(h) = Vo(r),记h的零点为p1,…，Pn.任取亚纯函数f，则f满足方程n+ri(h)fn-1++rn(h)=0,为有理函数这说明nv(f)≥minvo(ri)+(n-i)u(f),i=0,...,n-1)如果(f)<0,则存在i,使得vo(ri)<0.因为r;(0)是f在P1,.…-,Pn处取值的初等对称函数，因而于必以某Pi为极点同理，讨论1/f即知，如果u(f)>0,则f以某个pk为零点将(p1，…·，Pn）中互不相同的点重新记为q1,….m.选取亚
76 第三章 Riemann-Roch 定理 是满同态, 且 vpf ` gq ě mintvpfq, vpgqu, @ f, g P K˚ . 则称 v 为 K 上的一个 p 离散 q 赋值. 通常, 我们规定 vp0q “ `8. 显然, 如果 p 为 M 上一点, 则先前对于亚纯函数 定义的赋值 νp 就是 M 的亚纯函数域上的一个赋值. 赋值具有如下性质: • vp1q “ 0, vp´1q “ 0, vpfq “ vp´fq; • 当 vpfq ‰ vpgq 时 vpf ` gq “ mintvpfq, vpgqu. 事实上, 不妨设 vpfq ă vpgq, 则 vpfq “ vpf ` g ´ gq ě mintvpf ` gq, vp´gqu ě mintmintvpfq, vpgqu, vpgqu “ mintvpfq, vpgqu “ vpfq, 因此上述不等号均为等号. 特别地, vpfq “ mintvpf ` gq, vpgqu “ vpf ` gq. • 如果 C Ă K, 则 vpcq “ 0, @ c P C ˚. 这可从等式 vpcq “ n ¨ vpc 1{nq 推出, 因为若 vpcq ‰ 0, 则 vpc 1{nq ‰ 0, 令 n Ñ 8 可导出矛盾. 下面我们来刻画亚纯函数域上的赋值. 命题 3.4.8. 设 M 为紧致黎曼曲面, v 为亚纯函数域 MpMq 上的赋值, 则存 在 p 惟一 q 的 p P M, 使得 v “ νp. 证明. 取亚纯函数 h, 使得 vphq “ 1, 显然 h 不是常值函数. 由赋值映射的性 质, 如果 a P C ˚, 则 vph ´ aq “ 0. 因此如果 r 为有理函数, 则 vprphqq “ ν0prq. 记 h 的零点为 p1, ¨ ¨ ¨ , pn. 任取亚纯函数 f, 则 f 满足方程 f n ` r1phqf n´1 ` ¨ ¨ ¨ ` rnphq “ 0, ri 为有理函数. 这说明 nvpfq ě mintν0priq ` pn ´ iqvpfq, i “ 0, ¨ ¨ ¨ , n ´ 1u. 如果 vpfq ă 0, 则存在 i, 使得 ν0priq ă 0. 因为 rip0q 是 f 在 p1, ¨ ¨ ¨ , pn 处取值的 初等对称函数, 因而 f 必以某 pj 为极点. 同理, 讨论 1{f 即知, 如果 vpfq ą 0, 则 f 以某个 pk 为零点. 将 tp1, ¨ ¨ ¨ , pnu 中互不相同的点重新记为 q1, ¨ ¨ ¨ , qm. 选取亚