62第三章Riemann-Roch定理设M为紧致黎曼曲面，w1,w2EA(M),定义(w1,w2) =1A*2在局部坐标下，如果w1=uidz+idz，wz=u2dz+v2dz分别为w1，w2的局部表示，则w2=V-(u2+102)dzdz由此容易看出，（）为A"(M）上定义好的Hermite内积.对于wEA"(M)，定义它在此内积下的范数为[wl = V(w,w)引理3.2.2.设M为紧致黎曼曲面，（）是上面定义的内积.则(i)如果w为M上的调和形式,则(w,df)=0,VfeA(M).特别地，调和形式是恰当形式当且仅当它为零；(i)设w=wo+df为闭形式，其中wo为调和形式，feA(M)。则w|≥[wll且等号成立当且仅当w=wo.证明（i）因为（）为Hermite内积，我们只要证明（df，w）=0即可.由于w为调和形式，*w为闭形式.利用Stokes积分公式，我们有(df,w) =df^*JMd(f*w)M= 0.如果w为调和形式，且w=dh，则[w2= (w,w) = (dh,w) =0从而只能w=0.(i)利用(i)我们有w?= (wo + df,wo + df)= (wo,wo) + (df,wo) + (wo,df) + (df,df)= [wol2 + [df]2 ≥ wo2.口等号成立当且仅当df=0,即w=wo.从这个引理我们看到，调和形式和恰当形式是正交的；在M的一个deRham上同调类中如果存在调和形式作为代表，则这个调和形式范数最小，并且同一个deRham上同调中最多只能有一个调和形式作为代表.然而，我们有如下重要的分解定理
62 第三章 Riemann-Roch 定理 设 M 为紧致黎曼曲面, ω1, ω2 P A1 pMq, 定义 pω1, ω2q “ ż M ω1 ^ ˚ω¯2. 在局部坐标下, 如果 ω1 “ u1dz ` v1dz¯, ω2 “ u2dz ` v2dz¯ 分别为 ω1, ω2 的局部表 示, 则 ω1 ^ ˚ω¯2 “ ? ´1 pu1u¯2 ` v1v¯2qdz ^ dz. ¯ 由此容易看出, p,q 为 A1 pMq 上定义好的 Hermite 内积. 对于 ω P A1 pMq, 定义它 在此内积下的范数为 }ω} “ a pω, ωq. 引理 3.2.2. 设 M 为紧致黎曼曲面, p,q 是上面定义的内积. 则 piq 如果 ω 为 M 上的调和形式, 则 pω, dfq “ 0, @ f P A0 pMq. 特别地, 调和形 式是恰当形式当且仅当它为零; piiq 设 ω “ ω0 `df 为闭形式, 其中 ω0 为调和形式, f P A0 pMq. 则 }ω} ě }ω0}, 且等号成立当且仅当 ω “ ω0. 证明. piq 因为 p,q 为 Hermite 内积, 我们只要证明 pdf, ωq “ 0 即可. 由于 ω 为 调和形式, ˚ω 为闭形式. 利用 Stokes 积分公式, 我们有 pdf, ωq “ ż M df ^ ˚¯ω “ ż M dpf˚¯ωq “ 0. 如果 ω 为调和形式, 且 ω “ dh, 则 }ω} 2 “ pω, ωq “ pdh, ωq “ 0. 从而只能 ω “ 0. piiq 利用 piq 我们有 }ω} 2 “ pω0 ` df, ω0 ` dfq “ pω0, ω0q ` pdf, ω0q ` pω0, dfq ` pdf, dfq “ }ω0} 2 ` }df} 2 ě }ω0} 2 . 等号成立当且仅当 df “ 0, 即 ω “ ω0. 从这个引理我们看到, 调和形式和恰当形式是正交的; 在 M 的一个 de Rham 上同调类中如果存在调和形式作为代表, 则这个调和形式范数最小, 并且同一个 de Rham 上同调中最多只能有一个调和形式作为代表. 然而, 我们有如下重要的分解 定理.
63$3.2Hodge定理定理3.2.3(Hodge定理)设M为紧致黎曼曲面：对任意wEA'(M)，存在惟一的WhEH1,以及在相差一个常数意义下惟一的光滑函数f,gEA(M)，使得W=Wh +df +*dg这个重要定理的证明参见本书附录：我们现在从这个定理推导一些今后需要的推论.首先，容易看到上述定理中的分解在内积（）下是一个正交分解如果w为闭形式，则它的分解将没有第三项.这是因为，如果*dg为闭形式，则I* dg]? =*dg ^** dg =d(g * dg) = 0JA从而*dg=0.因此，任何deRham上同调类中总存在惟一的调和代表元推论3.2.4.设M为紧致黎曼曲面，则Har(M）与HI线性同构.证明.定义映射Φ：HdR(M)→H为([w]) = wh.根据刚才的讨论，Φ是定义好的线性映射，并且既是单射又是满射，因而为线性同构口特别地，dimHar(M）=dimHl=2dimH，记dimH为g，g为拓扑不变量，称为M的亏格.例如，黎曼球面S亏格为0，黎曼环面C/A亏格为1推论3.2.5.设M为紧致黎曼曲面，n≥1为正整数.任取pEM，B为p附近的坐标邻域，z为B上的坐标函数，z(p)=0.则存在M上的亚纯微分n，使得n以p为惟一极点，且在p附近有m = d(=) + mh其中，h是p附近的全纯微分.证明.不妨设z(B)=D,记B,=(qEBIz(g)I<)取M上的光滑截断函数p:M→R，使得PlB=1,pM-B=0通过零延拓，考虑M-(p)上如下1-形式：d(p),qeB,w=[o, q$B.在B内，w--I*w'=0.因此，w-V-I*w可看成M上的光滑1-形式.由Hodge定理，存在wheH以及光滑函数f,g，使得w--1*w'=wh+df+*dg
§3.2 Hodge 定理 63 定理 3.2.3 (Hodge 定理). 设 M 为紧致黎曼曲面. 对任意 ω P A1 pMq, 存在 惟一的 ωh P H1 , 以及在相差一个常数意义下惟一的光滑函数 f, g P A0 pMq, 使得 ω “ ωh ` df ` ˚dg. 这个重要定理的证明参见本书附录. 我们现在从这个定理推导一些今后需要 的推论. 首先, 容易看到上述定理中的分解在内积 p,q 下是一个正交分解. 如果 ω 为闭形式, 则它的分解将没有第三项. 这是因为, 如果 ˚dg 为闭形式, 则 } ˚ dg} 2 “ ż M ˚dg ^ ˚ ˚ dg¯ “ ż M dpg¯ ˚ dgq “ 0. 从而 ˚dg “ 0. 因此, 任何 de Rham 上同调类中总存在惟一的调和代表元. 推论 3.2.4. 设 M 为紧致黎曼曲面, 则 H1 dRpMq 与 H1 线性同构. 证明. 定义映射 ϕ : H1 dRpMq Ñ H1 为 ϕprωsq “ ωh. 根据刚才的讨论, ϕ 是定义好的线性映射, 并且既是单射又是满射, 因而为线性同 构. 特别地, dim H1 dRpMq “ dim H1 “ 2 dim H, 记 dim H 为 g, g 为拓扑不变量, 称 为 M 的亏格. 例如, 黎曼球面 S 亏格为 0, 黎曼环面 C{Λ 亏格为 1. 推论 3.2.5. 设 M 为紧致黎曼曲面, n ě 1 为正整数. 任取 p P M, B 为 p 附 近的坐标邻域, z 为 B 上的坐标函数, zppq “ 0. 则存在 M 上的亚纯微分 η, 使得 η 以 p 为惟一极点, 且在 p 附近有 η “ dp 1 z n q ` ηh, 其中, ηh 是 p 附近的全纯微分. 证明. 不妨设 zpBq “ D, 记 B1 2 “ tq P B ˇ ˇ |zpqq| ă 1 2 u. 取 M 上的光滑截断函 数 ρ : M Ñ R, 使得 ρ|B 1 2 ” 1, ρ|M´B ” 0. 通过零延拓, 考虑 M ´ tpu 上如下 1- 形式: ω 1 “ $ & % dpρ ¨ 1 zn q, q P B, 0, q R B. 在 B1 2 内, ω 1 ´ ? ´1 ˚ ω 1 ” 0. 因此, ω 1 ´ ? ´1 ˚ ω 1 可看成 M 上的光滑 1- 形式. 由 Hodge 定理, 存在 ω 1 h P H1 以及光滑函数 f, g, 使得 ω 1 ´ ? ´1 ˚ ω 1 “ ω 1 h ` df ` ˚dg.
64第三章Riemann-Roch定理令w=-df=-1*w+wh+*dg，则w具有如下性质：(1)w在M-(p)上为调和形式事实上，由定义知w为闭形式，因此w=w'-f为闭形式，且*w=-V-iw+*wh-dg也是闭形式(2)在B内，w=Wh+d()，其中wh为B内调和形式.事实上，在B内，w=V-1*w=d(），因而w-d()=-df = wh + *dg由此易见w-d(）在B,内为调和形式.令n=(w+V-1 *w).由(1),(2)即知,n为满足要求的亚纯微分口从这个推论我们还可以得到下面两件事实：（1）紧致黎曼曲面上典范因子总是存在的：（2）紧致黎曼曲面上总存在非平凡的亚纯函数（只要取两个上述亚纯微分相除即可)在本节最后，我们考虑有限维复线性空间H的基，设M为紧致黎曼曲面，号格为g.取H在内积（.）下的一组标准正交基（Φ1,Φ2，·，Φg)则Hl = span(p1,p2,*..,pg,1,02,...,@g)令ΦH→C9wwA 01, wA02,.., Jw 0g)根据基的选取我们容易看出为单的线性映射，从而是一个线性同构习题3.21.设w为紧致黎曼曲面M上的闭1-形式，则（w,*df)=0,VfeA°(M)2.设w为紧致黎曼曲面M上的闭1-形式.如果(w,df）=0,VfeA(M)，则w为调和形式3.设w为紧致黎曼曲面M上的闭1-形式.如果(w,n)=0,VneHl,则w为恰当形式4.设M为紧致黎曼曲面，pEM.证明Har(M)和Har(M-(p)同构5.设M为紧致黎曼曲面,p,g为M两个不同的点，z,w分别是p.g附近的局部坐标函数.证明，存在M上的亚纯微分，它以p,q为仅有的极点，且在p附近具有奇性部分些，在附近具有奇性部分一。6.利用本节知识证明，亏格为0的紧致黎曼曲面必定全纯同构于黎曼球面S
64 第三章 Riemann-Roch 定理 令 ω “ ω 1 ´ df “ ? ´1 ˚ ω 1 ` ω 1 h ` ˚dg, 则 ω 具有如下性质: p1q ω 在 M ´ tpu 上为调和形式. 事实上, 由定义知 ω 1 为闭形式, 因此 ω “ ω 1 ´ df 为闭形式, 且 ˚ω “ ´? ´1 ω 1 ` ˚ω 1 h ´ dg 也是闭形式. p2q 在 B1 2 内, ω “ ωh ` dp 1 zn q, 其中 ωh 为 B1 2 内调和形式. 事实上, 在 B1 2 内, ω 1 “ ? ´1 ˚ ω 1 “ dp 1 zn q, 因而 ω ´ dp 1 z n q “ ´df “ ω 1 h ` ˚dg. 由此易见 ω ´ dp 1 zn q 在 B1 2 内为调和形式. 令 η “ 1 2 pω ` ? ´1 ˚ ωq. 由 p1q, p2q 即知, η 为满足要求的亚纯微分. 从这个推论我们还可以得到下面两件事实: p1q 紧致黎曼曲面上典范因子总是 存在的; p2q 紧致黎曼曲面上总存在非平凡的亚纯函数 (只要取两个上述亚纯微分 相除即可). 在本节最后, 我们考虑有限维复线性空间 H 的基. 设 M 为紧致黎曼曲面, 亏 格为 g. 取 H 在内积 p,q 下的一组标准正交基 tϕ1, ϕ2, ¨ ¨ ¨ , ϕgu. 则 H1 “ spantϕ1, ϕ2, ¨ ¨ ¨ , ϕg, ϕ¯ 1, ϕ¯ 2, ¨ ¨ ¨ , ϕ¯ gu. 令 ϕ : H Ñ C g ω ÞÑ pż M ω ^ ϕ¯ 1, ż M ω ^ ϕ¯ 2, ¨ ¨ ¨ , ż M ω ^ ϕ¯ gq. 根据基的选取我们容易看出 ϕ 为单的线性映射, 从而是一个线性同构. 习题 3.2 1. 设 ω 为紧致黎曼曲面 M 上的闭 1- 形式, 则 pω, ˚dfq “ 0, @ f P A0 pMq. 2. 设 ω 为紧致黎曼曲面 M 上的闭 1- 形式. 如果 pω, dfq “ 0, @ f P A0 pMq, 则 ω 为调和形式. 3. 设 ω 为紧致黎曼曲面 M 上的闭 1- 形式. 如果 pω, ηq “ 0, @ η P H1 , 则 ω 为恰 当形式. 4. 设 M 为紧致黎曼曲面, p P M. 证明 H1 dRpMq 和 H1 dRpM ´ tpuq 同构. 5. 设 M 为紧致黎曼曲面, p, q 为 M 两个不同的点, z, w 分别是 p, q 附近的局部 坐标函数. 证明, 存在 M 上的亚纯微分, 它以 p, q 为仅有的极点, 且在 p 附近 具有奇性部分 dz z , 在 q 附近具有奇性部分 ´ dw w . 6. 利用本节知识证明, 亏格为 0 的紧致黎曼曲面必定全纯同构于黎曼球面 S.
65g3.3Riemann-Roch公式g3.3Riemann-Roch公式在本章第一节中，我们证明了，对于紧致黎曼曲面上的任何因子D，I(D)，（D)均为有限维复向量空间.在这一节里，利用Hodge定理，我们来证明关于这两个有限维向量空间维数的一个重要等式，它是由Riemann，以及Riemann的学生Roch得到的定理3.3.1(Riemann-Roch公式).设M为紧致黎曼曲面，其亏格为g.则对任何因子D，有diml(D) = dimi(D) + (1 - g) + d(D),这里的维数都是指复维数根据Hodge定理的推论，曲面M上总存在典范因子，因此Riemann-Roch公式也可以改写为dimi(D)-dimi(K-D)=d(D)+(1-g)下面逐步给出Riemann-Roch公式的证明.首先作一些准备工作设w为紧黎曼曲面M上的亚纯微分，我们假设w的所有留数均为零.设Pi,P2，，Pi为w的所有极点，在pi附近取局部坐标邻域Bi，使得当i丰j时，BnB=の.由于W=2元Resp (w)=0,JaB,w在B;-(pi)内为恰当形式，即存在B;-(pi)内的光滑函数gi，使得w=dgi.通过使用光滑截断函数以及零延拓，在M-(p1,P2,…，Pk）上就得到光滑函数9，使得在每个pi附近均有w=dg.此时w-dg可以看成M上的光滑微分形式。任给M上闭形式n,定义奇异积分JMw^n为w^n=(w-dg)An奇异积分具有下列性质：·奇异积分的定义是恰当的.事实上，如果另有M-(p1,P2,，Pk）上的光滑函数g，使得在每个pi附近也有w=dg，则在pi附近d(g-g)=0,因此存在
§3.3 Riemann-Roch 公式 65 §3.3 Riemann-Roch 公式 在本章第一节中, 我们证明了, 对于紧致黎曼曲面上的任何因子 D, lpDq, ipDq 均为有限维复向量空间. 在这一节里, 利用 Hodge 定理, 我们来证明关于这两个有 限维向量空间维数的一个重要等式, 它是由 Riemann, 以及 Riemann 的学生 Roch 得到的. 定理 3.3.1 (Riemann-Roch 公式). 设 M 为紧致黎曼曲面, 其亏格为 g. 则对 任何因子 D, 有 dim lpDq “ dim ipDq ` p1 ´ gq ` dpDq. 这里的维数都是指复维数. 根据 Hodge 定理的推论, 曲面 M 上总存在典范因子, 因此 Riemann-Roch 公 式也可以改写为 dim lpDq ´ dim lpK ´ Dq “ dpDq ` p1 ´ gq. 下面逐步给出 Riemann-Roch 公式的证明. 首先作一些准备工作. 设 ω 为紧黎 曼曲面 M 上的亚纯微分, 我们假设 ω 的所有留数均为零. 设 p1, p2, ¨ ¨ ¨ , pk 为 ω 的 所有极点, 在 pi 附近取局部坐标邻域 Bi , 使得当 i ‰ j 时, Bi X Bj “ H. 由于 ż BBi ω “ 2πRespi pωq “ 0, ω 在 Bi ´ tpiu 内为恰当形式, 即存在 Bi ´ tpiu 内的光滑函数 gi , 使得 ω “ dgi . 通 过使用光滑截断函数以及零延拓, 在 M ´ tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pku 上就得到光滑函数 g, 使 得在每个 pi 附近均有 ω “ dg. 此时 ω ´ dg 可以看成 M 上的光滑微分形式. 任给 M 上闭形式 η, 定义奇异积分 ş M ω ^ η 为 ż M ω ^ η “ ż M pω ´ dgq ^ η. 奇异积分具有下列性质: • 奇异积分的定义是恰当的. 事实上, 如果另有 M ´ tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pku 上的光滑函 数 g 1 , 使得在每个 pi 附近也有 ω “ dg1 , 则在 pi 附近 dpg ´ g 1 q “ 0, 因此存在
66第三章Riemann-Roch定理常数ci，使得在pi附近g-g=ci.此时有(-dg)n-n(-dg)n=Jμd(g-g)An1d(g' - g) ^nJM-U;B=-2/, (g-g)mJaB=Zcin= 0.JaB这说明奇异积分的定义是确切的。当w没有极点（即为全纯微分时)，奇异积分就是通常的微分形式的积分。当为恰当形式时，奇异积分JMw^=0.事实上，如果n=df，则有w ^n= (w- dg) ^n= (w- dg) ^df = - d(f(w- dg) = 0.上式最后用到了Stokes积分公式.·w=dg,gem(M)Jmw^n=0,闭形式n.事实上，如果存在亚纯函数g,使得w=dg，则按奇异积分的定义，Jw^n=J(w-dg)^n=0.反之，假设对任意闭形式n均有Smw^n=0,我们首先取M-(p1,P2，，Pk）上的光滑函数h，使得在每个Pi附近都有w=dh，则w-dh可视为M上光滑闭形式,且Jm(-dh)^n=0,V闭形式n.由Hodge定理中的分解容易看到,此时闭形式w-dh必为恰当形式，即存在M上的光滑函数h，使得w-dh=dh令g=h+h',则w=dg.由w为亚纯微分知g为M上的亚纯函数有了奇异积分，我们可以把前节推论3.2.5中得到的亚纯微分作规范化引理3.3.2.设M为紧致黎曼曲面，n≥1为正整数.任取peM,B为p附近的坐标邻域，2为B上的坐标函数，z(p)=0.则存在M上的亚纯微分w,使得w以P为惟一极点，且在p附近有w=d(）+wh其中，wh是p附近的全纯微分，并且奇异积分JMw^=0,i=1,2,..,9.其中{Φ1,中2,,中g)是前节最后定义的H的一组基证明.根据前节推论3.2.5，存在亚纯微分w，满足除奇异积分为零以外的所有条件.根据前节最后的一段说明，映射中:H→C9JMOA0MOA2.-(0ag)
66 第三章 Riemann-Roch 定理 常数 ci , 使得在 pi 附近 g ´ g 1 “ ci . 此时有 ż M pω ´ dgq ^ η ´ ż M pω ´ dg1 q ^ η “ ż M dpg 1 ´ gq ^ η “ ż M´YiBi dpg 1 ´ gq ^ η “ ´ÿ i ż BBi pg 1 ´ gqη “ ÿ i ci ż BBi η “ 0. 这说明奇异积分的定义是确切的. 当 ω 没有极点 (即为全纯微分时), 奇异积 分就是通常的微分形式的积分. • 当 η 为恰当形式时, 奇异积分 ş M ω ^ η “ 0. 事实上, 如果 η “ df, 则有 ż M ω ^ η “ ż M pω ´ dgq ^ η “ ż M pω ´ dgq ^ df “ ´ ż M dpfpω ´ dgqq “ 0. 上式最后用到了 Stokes 积分公式. • ω “ dg, g P MpMq ðñ ş M ω ^ η “ 0, @ 闭形式 η. 事实上, 如果存在亚纯函数 g, 使得 ω “ dg, 则按奇异积分的定义, ş M ω ^ η “ ş Mpω ´ dgq ^ η “ 0. 反之, 假 设对任意闭形式 η 均有 ş M ω ^ η “ 0, 我们首先取 M ´ tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pku 上的光 滑函数 h, 使得在每个 pi 附近都有 ω “ dh, 则 ω ´ dh 可视为 M 上光滑闭形 式, 且 ş Mpω ´dhq ^η “ 0, @ 闭形式 η. 由 Hodge 定理中的分解容易看到, 此时 闭形式 ω ´ dh 必为恰当形式, 即存在 M 上的光滑函数 h 1 , 使得 ω ´ dh “ dh1 . 令 g “ h ` h 1 , 则 ω “ dg. 由 ω 为亚纯微分知 g 为 M 上的亚纯函数. 有了奇异积分, 我们可以把前节推论 3.2.5 中得到的亚纯微分作规范化. 引理 3.3.2. 设 M 为紧致黎曼曲面, n ě 1 为正整数. 任取 p P M, B 为 p 附 近的坐标邻域, z 为 B 上的坐标函数, zppq “ 0. 则存在 M 上的亚纯微分 ω, 使得 ω 以 p 为惟一极点, 且在 p 附近有 ω “ dp 1 z n q ` ωh, 其中, ωh 是 p 附近的全纯微分, 并且奇异积分 ş M ω ^ ϕ¯ i “ 0, i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , g. 其中 tϕ1, ϕ2, ¨ ¨ ¨ , ϕgu 是前节最后定义的 H 的一组基. 证明. 根据前节推论 3.2.5, 存在亚纯微分 ω 1 , 满足除奇异积分为零以外的所有 条件. 根据前节最后的一段说明, 映射 ϕ : H Ñ C g φ ÞÑ pż M φ ^ ϕ¯ 1, ż M φ ^ ϕ¯ 2, ¨ ¨ ¨ , ż M φ ^ ϕ¯ gq