中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1）当x→>0时，与/等价的无穷小量是1+x(A) 1-ev(C) i+/x-1. (D) 1-cos /x.[ B 1(B) In -1-Vx【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案【详解】当x→>0+时，有1-ev=-(e-1)~；+-1~区；2(!1-cos /x~3利用排除法知应选(B).-x.221+In(1+e)，渐近线的条数为(2)曲线V=x(C) 2.(A) 0.(B) 1.(D) 3.[D]【分析】先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线：再考虑水平或斜渐近线。【详解】因为lim[=+ln(1+e')]=80，所以x=0为垂直渐近线；X-0x又lim[=+ln(1+e')]=0，所以y=0为水平渐近线;x1 In(1+e')In(1+e')Olim = lim[-lim=lim进一步，xx-→+1+eX→+0XX++00xxlim[y-1·x] = lim[=+In(1+e*)-x]= lim[In(1+e')-x]= lim[lne*(1+e-")- x] = lim In(1+e-*) = 0 ,于是有斜渐近线：y=x.故应选(D).(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=f(t)dt则下列结论正确的是35F(-2).(A) F(3)=(B) F(3) =F(2)4435F(-2)(C) F(-3) =F(2).【c](D) F(-3) =44【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。1【详解】根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：F(2)=元2中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn
中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 2007 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析 一、选择题：(本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 当 x 0 时，与 x 等价的无穷小量是 (A) 1 x e . (B) 1 ln 1 x x . (C) 1 1 x . (D) 1 cos x . [ B ] 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小 量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当 x 0 时，有 1 ( 1) ~ x x e e x ； 1 1 1 ~ 2 x x ； 1 1 2 1 cos ~ ( ) . 2 2 x x x 利用排除法知应选(B). (2) 曲线 1 ln(1 )x y e x ，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ] 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为 0 1 lim[ ln(1 )] x x e x ，所以 x 0 为垂直渐近线； 又 1 lim [ ln(1 )] 0 x x e x ，所以 y=0 为水平渐近线； 进一步， 2 1 ln(1 ) ln(1 ) lim lim [ ] lim x x x x x y e e x x x x = lim 1 1 x x x e e ， 1 lim [ 1 ] lim [ ln(1 ) ] x x x y x e x x = lim [ln(1 ) ] x x e x = lim [ln (1 ) ] lim ln(1 ) 0 x x x x x e e x e ， 于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D). (3) 如图，连续函数 y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为 1 的上、下半 圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 0 ( ) ( ) . x F x f t dt 则下列结论正确的是 (A) 3 (3) ( 2) 4 F F . (B) 5 (3) (2) 4 F F . (C) (2) 4 3 F(3) F . (D) ( 2) 4 5 F(3) F . [ C ] 【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意 f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清 楚相应积分与面积的关系。 【详解】 根据定积分的几何意义，知 F(2)为半径是 1 的半圆面积： 1 (2) 2 F
中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户1)=元-F(2),元·12LF(3)是两个半圆面积之差：F(3)=84F(-3)= J f(x)dx =-J" J(x)dx = f,f(x)dx = F(3)因此应选(C),(4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是()存在，则(0)=0.f(x)+ f(-x)(A)若lim(B)若 lim存在，则(0)=0r→0X→0xx()存在，则(0)存在。f(x)-f(-x)2存在，则f"(O)存在(D)若lim(C)若 lim4x0x[D]【分析】本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0.()存在，则 f(0)=0, F(0)=lim()-()=1m()=0，可见(C)也正确，若limxx-0Hrx故应选(D).事实上，可举反例：(x)=x在x=0处连续，且x/--xf(x)-f(-x) lim-lim=0存在，但f(x)=x在x=0处不可导。10xx0x(5)设函数f(x)在(0,+oo)上具有二阶导数，且f"(x)>0.令u，=f(n)(n=1,2,,)则下列结论正确的是(A)若u>u，则(u,)必收敛.(B)若u,>uz，则(u,)必发散.(C)若u<u，则(u必收敛(D)若u<u，则(u,)必发散.[D]【分析】可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。【详解】设f(x)=x2，则f(x)在(0,+o)上具有二阶导数，且f"(x)>0,u<u，但1(u,}=(n)发散，排除(C);设f(x)=-则f(x)在(0.+o0）上具有二阶导数，且收敛，排除(B);又若设f(x)=-Inx，则f(x)在(0,+o)上f"(x)>0,u>,但(u)=具有二阶导数，且f"(x)>0,u>u,，但(u,)=(-lnn)发散，排除(A).故应选(D).(6)设曲线L:f(x,J)=1(f(x,y)具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是(A)f(x,y)dx:(B)(f(x,y)dy(c) [f(x,y)ds.(D) J, J(x, y)dx+ f;(x, y)dy.[B]中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn
中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn F(3)是两个半圆面积之差： 1 1 3 2 2 (3) [ 1 ( ) ] 2 2 8 F = 3 (2) 4 F ， 0 3 3 0 F( 3) f (x)dx f (x)dx ( ) (3) 3 0 f x dx F 因此应选(C). (4) 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是 (A) 若 0 ( ) lim x f x x 存在，则 f(0)=0. (B) 若 0 ( ) ( ) lim x f x f x x 存在，则 f(0)=0. (C) 若 0 ( ) lim x f x x 存在，则 f (0) 存在. (D) 若 0 ( ) ( ) lim x f x f x x 存在，则 f (0) 存在 [ D ] 【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算 等进行分析讨论。 【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为 0，因此分子的极限也必须为 0，均可推导出 f(0)=0. 若 0 ( ) lim x f x x 存在，则 0 0 ( ) (0) ( ) (0) 0, (0) lim lim 0 x x 0 f x f f x f f x x ，可见(C)也正确， 故应选(D). 事实上，可举反例： f x x ( ) 在 x=0 处连续，且 0 ( ) ( ) lim x f x f x x = 0 lim 0 x x x x 存在，但 f x x ( ) 在 x=0 处不可导。 (5) 设函数 f (x)在 (0, ) 上具有二阶导数，且 f x ( ) 0. 令 u f (n)(n 1,2, ,) n , 则下列结论正确的是 (A) 若 1 2 u u ，则 { }n u 必收敛. (B) 若 1 2 u u ，则 { }n u 必发散. (C) 若 1 2 u u ，则 { }n u 必收敛. (D) 若 1 2 u u ，则 { }n u 必发散. [ D ] 【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。 【详解】 设 f(x)= 2 x , 则 f (x)在 (0, ) 上具有二阶导数，且 1 2 f x u u ( ) 0, ，但 2 { } { } n u n 发 散 ， 排 除 (C); 设 f(x)= 1 x , 则 f(x) 在 (0, ) 上 具 有 二 阶 导 数 ， 且 1 2 f x u u ( ) 0, ，但 1 { } { } n u n 收敛，排除(B); 又若设 f x x ( ) ln ，则 f(x)在 (0, ) 上 具有二阶导数，且 1 2 f x u u ( ) 0, ，但 { } { ln } n u n 发散，排除(A). 故应选(D). (6) 设曲线 L f x y f x y : ( , ) 1( ( , ) 具有一阶连续偏导数)，过第 II 象限内的点 M 和第 IV 象限内的点 N，T 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列小于零的是 (A) ( , ) T f x y dx . (B) ( , ) T f x y dy . (C) ( , ) T f x y ds . (D) ( , ) ( , ) x y T f x y dx f x y dy . [ B ]
中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户【分析】直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。【详解】设M、N点的坐标分别为M(,),N(,2),<2,J>y2.先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：[f(x,y)dx=[,dx=x->0;[f(x,y)dy=,dy=y2-<0;[f(x,y)ds=,ds=s>0; J, J(x,y)dx+ f,(x,y)dy=J,df(x,y)=0故正确选项为(B)(7）设向量组α1,α2,α,线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) α,-2,α-,α-.(B) α+α2,α+,α+α(C)α,-2α2,α-2α,α-2α,.(D)α,+2α2,α,+2α,α+2α.[ A【详解】用定义进行判定：令x(α-α)+x(α2-α)+x(α-α)=0,得( -x)α, +(-x +x)α +(-x +x)α, =0[x]-x =0,=0,因α,α2,α,线性无关，所以X, + X2-x +x = 0.10-1-1又10E=0,0-11故上述齐次线性方程组有非零解，即α,-α2,αzα3,α-α,线性相关.类似可得(B),(C),(D)中的向量组都是线性无关的(100)(2 -1 -1)010(8)设矩阵A=-12B:则A与B(000)-1 -1 2 (A合同，且相似(B）合同，但不相似：(C）不合同，但相似(D）既不合同，又不相似.［B]【详解】由|E－A=0得A的特征值为0,3,3，而B的特征值为0,1,1,从而A与B不相似又r(A)=r(B)=2,且A、B有相同的正惯性指数，因此A与B合同。故选(B).(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<p<1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A) 3p(1- p)2.(B) 6p(1- p)2.中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn
中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。 【详解】 设 M 、N 点的坐标分别为 1 1 2 2 1 2 1 2 M x y N x y x x y y ( , ), ( , ), , . 先将曲线方 程代入积分表达式，再计算有： 2 1 ( , ) 0 T T f x y dx dx x x ; 2 1 ( , ) 0 T T f x y dy dy y y ; ( , ) 0 T T f x y ds ds s ; ( , ) ( , ) ( , ) 0 x y T T f x y dx f x y dy df x y . 故正确选项为(B). (7) 设向量组 1 2 3 , , 线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) 1 2 2 3 3 1 , , . (B) 1 2 2 3 3 1 , , . (C) 1 2 2 3 3 2 1 2 , 2 , . (D) 1 2 2 3 3 2 1 2 , 2 , . [ A ] 【详解】用定义进行判定:令 x1 (1 2 ) x2 (2 3 ) x3 (3 1 ) 0 ， 得 (x1 x3 )1 (x1 x2 )2 (x2 x3 )3 0 . 因 1 2 3 , , 线性无关，所以 1 3 1 2 2 3 0, 0, 0. x x x x x x 又 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 ， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即 1 2 2 3 3 1 , , 线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的. (8) 设矩阵 1 1 2 1 2 1 2 1 1 A , 0 0 0 0 1 0 1 0 0 B , 则 A 与 B (A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ] 【详解】 由 | E A| 0 得 A 的特征值为 0, 3, 3, 而 B 的特征值为 0, 1, 1,从而 A 与 B 不相似. 又 r(A)=r(B)=2, 且 A、B 有相同的正惯性指数, 因此 A 与 B 合同. 故选(B) . (9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p(0<p<1), 则此人第 4 次 射击恰好第 2 次命中目标的概率为 (A) 2 3p(1 p) ． (B) 2 6p(1 p)
中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户(C) 3p(1-p).(D) 6p(1- p)2.【c]【详解】“第4次射击恰好第2次命中"表示4次射击中第4次命中目标，前3次射击中有1次命中目标，由独立重复性知所求概率为：C,p(1-p).故选(C)(10）设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，Jx(x)f(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度xr(xly)为(A) ()。 (B) ()。 (C) J(),(0)。 (D)细［A]fr(y)【详解】因（X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，故X与Y相互独立，于是fxr(x/y)=fx(x).因此选(A).二、填空题：（11一16小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）Pid-fe11)【分析】先作变量代换，再分部积分。21！1(Pe'(-)dt= J'te' dt【详解】e*dx=-J'e'dt=leI" tde' = te'2(12) 设u,)为二元可微函数，=(x,y)，则%=-ar+-ylnyax【详解】利用复合函数求偏导公式，有%-"+ylnyax(13)二阶常系数非齐次线性微分方程y"-4y+3y=2e2x的通解为y=C,e"+C,e3-2e2*。其中C,C,为任意常数【详解】特征方程为2-4+3=0，解得=1,=3.可见对应齐次线性微分方程y"-4y'+3y=0的通解为y=C,e+C,ex设非齐次线性微分方程y"-4y+3y=2e2*的特解为y=ke2*，代入非齐次方程可得k=-2.故通解为y=C,e+C,e3x-2e2(14)设曲面:++=1，则(x+Dds=SW中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn
中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn (C) 2 2 3p (1 p) ． (D) 2 2 6p (1 p) ． [ C ] 【详解】 “第 4 次射击恰好第 2 次命中”表示 4 次射击中第 4 次命中目标, 前 3 次射击 中有 1 次命中目标, 由独立重复性知所求概率为： 1 2 2 3 C p (1 p) . 故选(C) . (10) 设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关， f (x) f (y) X Y 分别表示Ｘ， Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y 的条件下，Ｘ的条件概率密度 ( | ) | f x y X Y 为 (A) f (x) X ． (B) f (y) Y ． (C ) f (x) f (y) X Y . (D) ( ) ( ) f y f x Y X ． [ A ] 【详解】 因(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，故Ｘ与Ｙ相互独立，于是 ( | ) | f x y X Y = f (x) X . 因此选(A) . 二、填空题：(11－16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上) (11) 1 2 3 1 1 x e dx x = 1 2 1 . 2 e 【分析】 先作变量代换，再分部积分。 【详解】 1 1 1 2 1 2 3 1 3 2 1 1 2 1 1 ( ) t x t t x e dx t e dt te dt x t = 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 . 2 t t t tde te e dt e (12) 设 f(u,v)为二元可微函数， ( , ) y x z f x y ，则 z x = 1 1 2 ln . y x f yx f y y 【详解】 利用复合函数求偏导公式，有 z x = 1 1 2 ln . y x f yx f y y (13) 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 2 4 3 2 x y y y e 的 通 解 为 3 2 1 2 2 . x x x y C e C e e 其中 1 2 C ,C 为任意常数. 【详解】 特征方程为 2 4 3 0 ，解得 1 2 1, 3. 可见对应齐次线性微分方 程 y y y 4 3 0 的通解为 3 1 2 . x x y C e C e 设非齐次线性微分方程 2 4 3 2 x y y y e 的特解为 * 2x y ke ，代入非齐次方程可 得 k= −2. 故通解为 3 2 1 2 2 . x x x y C e C e e (14) 设曲面 : 1 x y z ，则 x y dS ( | |) = 4 3. 3
中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户【详解】由于曲面≥关于平面x=0对称，因此纤xdS=0.又曲面≥:+以+=1具2有轮换对称性，于是F(x+Dds=1s-f1x-=s=f( xI+1y/+1=Dds3号221.4B×8xds:233（0100010(则A’的秩为1.(15）设矩阵A00000000010000故r(A")=1【详解】依矩阵乘法直接计算得00000000S1(16）在区间(0,1)中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于的概率为24【详解】这是一个几何概型，设x,y为所取的两个数，则样本空间Q=(x,y)10<x,y<1),记A=(x,y)I(x,y)e2,|x-3S4-4.3.故P(A) =其中S4,S。分别表示A与Q的面积S14"三、解答题：（17一24小题，共86分.）（17)（本题满分11分）求函数f(x)=x+2-x在区域D=((x)x+y≤4,≥0)上的最大值和最小值。【分析】由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。【详解】因为(xy)=2x-2xy2，f(xy)=4y-2xy，解方程：f'=2x-2xy2= 0,得开区域内的可能极值点为(±>2,1)f'=4y-2xy=0其对应函数值为f(±/2,1)=2又当y=0时，f(x,y)=x2在-2≤x≤2上的最大值为4，最小值为0.中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn
中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 【详解】 由于曲面 关于平面 x=0 对称，因此 xdS =0. 又曲面 : 1 x y z 具 有轮换对称性，于是 x y dS ( | |) = y dS | | = x dS | | = z dS | | = x y z dS (| | | | | |) 3 1 = dS 3 1 2 3 8 3 1 = 4 3. 3 (15) 设矩阵 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A , 则 3 A 的秩为 1. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 A , 故 r( 3 A )=1. (16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于 2 1 的概率为 4 3 ． 【详解】 这是一个几何概型, 设 x, y 为所取的两个数, 则样本空间 {(x, y)| 0 x, y 1}, 记 } 2 1 A {(x, y) | (x, y),| x y | . 故 S S P A A ( ) 4 3 1 4 3 ，其中 S A S , 分别表示 A 与 的面积. 三、解答题：(17－24 小题，共 86 分. ) (17) (本题满分 11 分) 求函数 2 2 2 2 f x y x y x y ( , ) 2 在区域 2 2 D x y x y y {( , ) 4, 0} 上的最大值和 最小值。 【分析】 由于 D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨 论即可。 【详解】 因为 2 ( , ) 2 2 x f x y x xy ， 2 ( , ) 4 2 y f x y y x y ，解方程： 2 2 2 2 0, 4 2 0 x y f x xy f y x y 得开区域内的可能极值点为 ( 2,1) . 其对应函数值为 f ( 2,1) 2. 又当 y=0 时， 2 f x y x ( , ) 在 2 2 x 上的最大值为 4，最小值为 0