考研数学历年真题：2006考研数学（一）试题及详细答案解析

中国最权威考研门户中国教育在线（www.kaoyan.cn）2006年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析、填空题：1一6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上xln(1+x) = 2.(1) lim>01-cosx0【分析】本题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可0x ln(1+ x).X·X=2=lim【详解】lim401-cOSx微分方程=(1-)的通解是y=Cxe-*(x±0)(2)x【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为dyy两边积分得lny=lnx-x+C，整理得y=Cxe". (C=e)(3）设是锥面z=/x2+y0≤z≤1)的下侧，则[ xdyd + 2 ydzdx +3(z -1])dxdy = 2元 ,z=1【分析】本题不是封闭曲面，首先想到加一曲面Z，：，取上侧，使+[x? +y? ≤]构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】设,：z=1(x2+y2≤1)，取上侧，则[[ xdydz +2 ydzdx + 3(z -1)dxdyxdydz+2 ydzdx +3(z-1)dxdy-[xdydz +2ydzdx+3(z-1)dxdy.+[[ xdydz +2ydzdx+3(z-1)dxdy= [6dv=6[" de[,rdr[' dz = 2元而2+[[xd yd 2yd x 3(z1),中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn

中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 2006 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析 一、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. （1） 0 ln(1 ) lim 1 cos x x x  x    2. 【分析】 本题为 0 0 未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可. 【详解】 0 0 2 ln(1 ) lim lim 2 1 cos 1 2 x x x x x x x x        . （2） 微分方程 y x (1 ) y x    的通解是 e ( 0). x y Cx x    【分析】 本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解】 原方程等价为 d 1 1 d y x y x         ， 两边积分得 1 ln ln y x x C    ，整理得 e x y Cx   .（ 1 e C C  ） （3）设  是锥面 2 2 z x y z     (0 1) 的下侧，则 x y z y z x z x y d d 2 d d 3( 1)d d       2 . 【分析】本题  不是封闭曲面，首先想到加一曲面 1 ： 2 2 1 1 z x y       ，取上侧，使   1 构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计 算即可. 【详解】 设 1 ： 2 2 z x y    1( 1) ，取上侧，则 x y z y z x z x y d d 2 d d 3( 1)d d      1 1 x y z y z x z x y x y z y z x z x y d d 2 d d 3( 1)d d d d 2 d d 3( 1)d d             . 而 1 x y z y z x z x y d d 2 d d 3( 1)d d      ＝ 2 1 1 0 0 6d 6 d d d 2 r V v r r z          ， 1 x y z y z x z x y d d 2 d d 3( 1)d d 0      

中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户[xdydz +2 ydzdx +3(z -1)dxdy = 2元所以（4）点(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距离d=/2【分析】本题直接利用点到平面距离公式d = [4xo + By +Co + D]NA? + B2 +C2进行计算即可。其中（xo,yo,=）为点的坐标，Ax+By+Cz+D=0为平面方程[3× 2+ *+ 【详解】32 +4°+5212（5）设矩阵AE为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则12B|=_2【分析】将矩阵方程改写为AX=B或XA=B或AXB=C的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有B(A-E)=2EBA-=4，而A-E==2，所以B=2于是有-11（6）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则P[max[X,Y}≤1}=9【分析】利用X与Y的独立性及分布计算.【详解】由题设知，X与Y具有相同的概率密度[10≤x≤3f(x)=/3'[0,其他则P[max[X,Y)≤1)=P(X≤1,Y≤1)=PX≤I)P(Y≤1)=(P(X≤1) -((Cidr) =-中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn

中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 所以 x y z y z x z x y d d 2 d d 3( 1)d d 2       . （4）点 (2,1,0) 到平面 3 4 5 0 x y z    的距离 d  2 . 【分析】 本题直接利用点到平面距离公式 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D d A B C       进行计算即可. 其中 0 0 0 ( , , ) x y z 为点的坐标， Ax By Cz D     0 为平面方程. 【详解】 2 2 2 3 2 4 1 5 0 2 345 d          . （5）设矩阵 2 1 1 2 A         ， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA B E   2 ，则 B  2 . 【分析】 将矩阵方程改写为 AX B XA B AXB C    或 或 的形式，再用方阵相乘的行 列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有 B A E E ( ) 2   于是有 B A E   4 ，而 1 1 2 1 1 A E    ，所以 B  2 . （ 6 ） 设随机变量 X Y 与 相 互 独 立 ， 且 均 服 从 区 间 0,3 上 的 均 匀 分 布 ， 则 P X Y max , 1     1 9 . 【分析】 利用 X Y 与 的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知， X Y 与 具有相同的概率密度 1 , 3 ( ) 3 0, x f x         0 其他 . 则 P X Y P X Y max , 1 1, 1             P X P Y  1 1       2 2 1 0 1 1 1 d 3 9 P X x           

中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：y32S407则 P(max(X,)≤1)=P(X≤1,Y≤1)==s9二、选择题：7一14小题，每小题4分，共32分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。(7)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f(x)>0,f"(α)>0，△x为自变量x在点x处的增量，Ay与dy分别为f(x)在点x处对应的增量与微分，若△x>0，则(A) 0<dy<Ay.(B)0<Ay<dy.[A](C) Ay<dy<0.(D) dy<Ay<0【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解【详解】由f(x)>0,f"(x)>0知，函数f(x)单J=()/调增加，曲线y=f(x)凹向，作函数y=f(x)的图形如14ydy右图所示，显然当△x>0时，Ay>dy=f(x)dx=f(x)Ar>0，故应选(A)0x1o+Ax（8）设f(xy)为连续函数，则4def(rcos,rsinの)rdr等于yl-(A)[(B)[2 dx]f(x, y)dy.df(x,y)dy21=11-1(C)f(x,y)dx.(D)f(x,y)dx.11didy【分析】本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可【详解】由题设可知积分区域D如右图所示，显然是Yy型域，则V22x2 +j3 =1中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn+X01

中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图： 则       1 max , 1 1, 1 9 S P X Y P X Y S       阴 . 二、选择题：7－14 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数 y f x  ( ) 具有二阶导数，且 f x f x   ( ) 0, ( ) 0   ，x 为自变量 x 在点 0 x 处的 增量， y y 与d 分别为 f x( ) 在点 0 x 处对应的增量与微分，若  x 0 ，则 (A) 0 d    y y . (B) 0 d   y y . (C)    y yd 0 . (D) d 0 y y    . [ Ａ ] 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由 f x f x   ( ) 0, ( ) 0   知，函数 f x( ) 单 调增加，曲线 y f x  ( ) 凹向，作函数 y f x  ( ) 的图形如 右图所示，显然当  x 0 时， 0 0       y y f x x f x x d ( )d ( ) 0   ，故应选(Ａ). （ 8 ） 设 f x y ( , ) 为 连 续 函 数 ， 则 1 4 0 0 d ( cos , sin ) d f r r r r       等于 （Ａ） 2 2 1 2 0 d ( , )d x x x f x y y    . （B） 2 2 1 2 0 0 d ( , )d x x f x y y    . (C) 2 2 1 2 0 d ( , )d y y y f x y x    . (D) 2 2 1 2 0 0 d ( , )d y y f x y x    . [ Ｃ ] 【分析】 本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可. 【详解】 由题设可知积分区域 D 如右图所示，显然是 Y 型域，则

中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户(x,y)dx原式故选（C），(9）若级数α,收敛，则级数=[a.|收敛(-1)"a,收敛(B)(A)>2n=Za,am收效.a,+al收敛.(C) (D) [D ]12nln=【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定5a,+anl收敛，故应选(D)由a,收敛知+收敛，所以级数>【详解】2台In=ln=l或利用排除法：取a,=(-1)n则可排除选项（A），（B）；n取a,=(-1)"一，则可排除选项（C）.故（D）项正确Jn(10）设f(x,y)与p(x,J)均为可微函数，且g,(x,J)0，已知(xo,)是f(x,y)在约束条件β(x,y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若f(xo,%)=0,则f'(xo,y)=0(B)若f'(xo,yo)=0，则f(xo,yo)±0若f(x,)±0，则(xo,%)=0(C)若f(xo,y)0，则J'(xo,%)0.(D)【D]【分析】利用拉格朗日函数F(x,y,)=f(x,J)+p(x,J)在(x,,）（是对应xo,%的参数入的值）取到极值的必要条件即可。【详解】作拉格朗日函数F(x,y,)=f(x,y)+p(x,y)，并记对应xo,的参数的值为，则中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn

中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 原式 2 2 1 2 0 d ( , )d y y y f x y x     . 故选（Ｃ）. （9）若级数 1 n n a    收敛，则级数 (A) 1 n n a    收敛 . （B） 1 ( 1)n n n a     收敛. (C) 1 1 n n n a a     收敛. (D) 1 1 2 n n n a a      收敛. [ Ｄ ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由 1 n n a    收敛知 1 1 n n a     收敛，所以级数 1 1 2 n n n a a      收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法： 取 1 ( 1)n n a n   ，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）； 取 1 ( 1)n n a n   ，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. （10）设 f x y x y ( , ) ( , ) 与 均为可微函数，且 ( , ) 0 y   x y  ，已知 0 0 ( , ) x y 是 f x y ( , ) 在约 束条件 ( , ) 0 x y  下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若 0 0 ( , ) 0 x f x y   ，则 0 0 ( , ) 0 y f x y   . (B) 若 0 0 ( , ) 0 x f x y   ，则 0 0 ( , ) 0 y f x y   . (C) 若 0 0 ( , ) 0 x f x y   ，则 0 0 ( , ) 0 y f x y   . (D) 若 0 0 ( , ) 0 x f x y   ，则 0 0 ( , ) 0 y f x y   . [ Ｄ ] 【分析】 利用拉格朗日函数 F x y f x y x y ( , , ) ( , ) ( , )     在 0 0 0 ( , , ) x y  （ 0 是对应 0 0 x y, 的参数  的值）取到极值的必要条件即可. 【详解】作拉格朗日函数 F x y f x y x y ( , , ) ( , ) ( , )     ，并记对应 0 0 x y, 的参数  的 值为 0 ，则

中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户F'(,[s'(xo, %)+ 2og'(x0, yo)=0[U,'(xo, y0)+ ,(x0, y)= 0F'(,消去，得f'(xo,y),(xo,y)-f'(xo,yo)p'(xo,y)=0,1整理得'(xo,o)=f'(xo,)p (x,). (因为g,(x,)±0),,(xo,yo)若f'(xo,y)±0，则f(xy)±0.故选（D）（11）设αi,αz，,α,均为n维列向量，A为mxn矩阵，下列选项正确的是(A）若α,α2"*α,线性相关，则Aαy,Aα,"",Aα,线性相关(B）若α,α2,",α,线性相关，则Aα,Aα2,",Aα线性无关(C）若,αz,线性无关，则Aα,Aα2,Aα,线性相关(D）若α,αz,…,α,线性无关，则Aα,Aα，,Aα,线性无关c]【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定【详解】记B=(αα",），则（Aα,Aα",Aα）=AB所以，若向量组α,α2",α,线性相关，则r(B)<S，从而r(AB)≤r(B)<s，向量组Aαi,Aα2,"",Aα,也线性相关，故应选(A).（12）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2(110)010列得C，记P=则(001(B) C=PAP-I(A) C=P-'AP.(D) C= PAPT.(C) C=PTAP.［B]【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn

中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 0 0 0 0 0 0 ( , , ) 0 ( , , ) 0 x y F x y F x y            ， 即 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 x x y y f x y x y f x y x y                  . 消去 0 ，得 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 x y y x f x y x y f x y x y         , 整理得 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y f x y f x y x y x y        .（因为 ( , ) 0 y   x y  ）， 若 0 0 ( , ) 0 x f x y   ，则 0 0 ( , ) 0 y f x y   .故选（Ｄ）. （11）设 1 2 , , ,   s 均为 n 维列向量， A 为 m n  矩阵，下列选项正确的是 (A) 若 1 2 , , ,   s 线性相关，则 1 2 , , , A A A   s 线性相关. (B) 若 1 2 , , ,   s 线性相关，则 1 2 , , , A A A   s 线性无关. (C) 若 1 2 , , ,   s 线性无关，则 1 2 , , , A A A   s 线性相关. (D) 若 1 2 , , ,   s 线性无关，则 1 2 , , , A A A   s 线性无关. [ C ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记 1 2 ( , , , ) B    s ，则 1 2 ( , , , ) A A A AB   s  . 所以，若向量组 1 2 , , ,   s 线性相关，则 r B s ( )  ，从而 r AB r B s ( ) ( )   ，向量组 1 2 , , , A A A   s 也线性相关，故应选(Ａ). （12）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的1 倍加到第 2 列得 C ，记 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P            ，则 （Ａ） 1 C P AP   . （Ｂ） 1 C PAP  . （Ｃ） T C P AP  . （Ｄ） T C PAP  . ［ Ｂ ］ 【分析】 利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】 由题设可得