考研数学历年真题：1996考研数一真题及解析

凶跨煮教育AKAOEDUCATIBorn to winy"+P(x)y+Q(x)y=0的通解，则y=Y(x)+(x)是非齐次方程的通解②二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x)，可用特征方程法求解：即y"+P(x)y+Q(x)y=0中的P(x)、Q(x)均是常数，方程变为y"+py'+gy=0.其特征方程写为r2+pr+q=0，在复数域内解出两个特征根r,：分三种情况：(1）两个不相等的实数根ri,r2，则通解为y=Ce"+Cze"；(2）两个相等的实数根r=r，则通解为y=(C,+Cx)e；(3）一对共轭复根riz=α±iβ，则通解为y=e*(C,cosβx+C,sinβx).其中C,C为常数。③对于求解二阶线性非齐次方程y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解y(αx)，可用待定系数法，有结论如下：如果f(x)=Pm(x)ex,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y(x)=x*Om(x)eax的特解，其中Om(x)是与Pm(x)相同次数的多项式，而k按入不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f(x)=e[P(x)cosのx+P(x)sinのxl,则二阶常系数非齐次线性微分方程y"+p(x)y+q(x)y=f(x)的特解可设为y =*e[R(x)cos ox+ R(2(x)sin ox],其中R("(x)与R(2)(α)是m次多项式，m=max(l,n),而k按+io（或入-io)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.(4）【答案】2uu，然后按方向导数的计算公式【分析】先求方向］的方向余弦和ax'ay"ozouOu_OuauCOsB+cos求出方向导数cosaazalaxay【解析】因为7与 AB同向,为求的方向余弦,将AB=[3-1,-2-0,2-1)=(2,-2,1)6

Born to win 6 y P x y Q x y   + + = ( ) ( ) 0 的通解,则 * y Y x y x = + ( ) ( ) 是非齐次方程的通解. ② 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解 Y x( ) ,可用特征方程法求解：即 y P x y Q x y   + + = ( ) ( ) 0 中的 P x( )、Q x( ) 均是常数,方程 变为 y py qy   + + = 0 .其特征方程写为 2 r pr q + + = 0 ,在复数域内解出两个特征根 1 2 r r, ； 分三种情况： (1) 两个不相等的实数根 1 2 r r, ,则通解为 1 2 1 2 ; rx r x y C e C e = + (2) 两个相等的实数根 1 2 r r = ,则通解为 ( ) 1 1 2 ; rx y C C x e = + (3) 一对共轭复根 1,2 r i =    ,则通解为 ( 1 2 cos sin .) x y e C x C x  = +   其中 1 2 C C, 为常数. ③ 对于求解二阶线性非齐次方程 y P x y Q x y f x   + + = ( ) ( ) ( ) 的一个特解 * y x( ) ,可用待 定系数法,有结论如下： 如果 ( ) ( ) , x m f x P x e = 则二阶常系数线性非齐次方程具有形如 * ( ) ( ) k x m y x x Q x e = 的特解,其中 ( ) Q x m 是与 ( ) P x m 相同次数的多项式,而 k 按  不是特征方程的根、是特征方 程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2. 如果 ( ) [ ( )cos ( )sin ] x l n f x e P x x P x x  = +   ,则二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f x   + + = ( ) ( ) ( ) 的特解可设为 * (1) (2) [ ( )cos ( )sin ] k x m m y x e R x x R x x  = +   , 其中 (1) ( ) R x m 与 (2) ( ) R x m 是 m 次多项式, m l n = max ,   ,而 k 按   +i (或   −i )不是特征 方程的根、或是特征方程的单根依次取为 0 或 1. (4)【答案】 1 2 【分析】先求方向 l 的方向余弦和 , , uuu x y z     ,然后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u l x y z        = + +     求出方向导数. 【解析】因为 l 与 AB 同向,为求 l 的方向余弦,将 AB = − − − − = − 3 1, 2 0,2 1 2, 2,1   

7跨考教育XKUAKAODCATABorn to winABi单位化，即得[2,-2,1] = {cosα,cos β,cosy][ABI2将函数u=ln(x+y2+2)分别对x,y,z求偏导数得oul112axlAx+yy2+22ou2=0,ay4y?+z2)1(r-0.1ouA1TOz4/?+=2x(1,0,1)OuQuOuOu所以cosα+cos β+cOSal4axlaOz/Aayla121211+0x（X+XP32233(5）【答案】221002【解析】因为|B=0=10±0,所以矩阵B可逆，故r(AB)=r(A)=2-103【相关知识点】r(AB)≤min(r(A),r(B).若A可逆,则r(AB)≤r(B)=r(EB)=r[A-'(AB))≤r(AB),从而r(AB）=r(B)，即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）(1)【答案】(D)ydy(x+ay)dx【解析】由于存在函数u(x,J)，使得du=（(x+y))(x+y)?由可微与可偏导的关系，知ououx+ayyax(x+y)?(x+y)?y分别对y,x求偏导数，得7

Born to win 7 单位化，即得     1 2, 2,1 cos ,cos ,cos | | 3 AB l AB = = − =    . 将函数 2 2 u x y z = + + ln( ) 分别对 x y z , , 求偏导数得 2 2 (1,0,1) 1 1 A 2 u x x y z  = =  + + , 2 2 2 2 (1,0,1) 0 A ( ) u y y x y z y z  = =  + + + , 2 2 2 2 (1,0,1) 1 A ( ) 2 u z z x y z y z  = =  + + + , 所以 cos cos cos A A A A u u u u l x y z        = + +     1 2 2 1 1 1 0 ( ) 2 3 3 2 3 2 =  +  − +  = . (5)【答案】 2 【解析】因为 1 0 2 0 2 0 10 0 1 0 3 B = =  − ,所以矩阵 B 可逆,故 r AB r A ( ) ( ) 2 = = . 【相关知识点】 r AB r A r B ( ) min( ( ), ( ))  .若 A 可逆,则 1 r AB r B r EB r A AB r AB ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) −  = =  . 从而 r AB r B ( ) ( ) = ,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩. 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D) 【解析】由于存在函数 u x y ( , ) ,使得 2 2 ( ) ( ) ( ) x ay dx ydy du x y x y + = + + + , 由可微与可偏导的关系,知 2 ( ) u x ay x x y  + =  + , 2 ( ) u y y x y  =  + , 分别对 y x, 求偏导数,得